2022年計算機網(wǎng)絡編程熱門面試題總結（附標準答案）

言

如今計算機網(wǎng)絡基本可以說是中、大廠面試必問的內(nèi)容
但是現(xiàn)在好多文章的答案并不夠全面深刻，有的則過于詳細，不利于面試
以下是借鑒資料和他人文章，總結常見計算機網(wǎng)絡面試題，希望為大家?guī)韼椭?/p>

1、計算機網(wǎng)絡分層體系結構（五層舉例）

應用層：為應用程序提供交互服務。在互聯(lián)網(wǎng)中的應用層協(xié)議很多，如域名系統(tǒng)DNS、HTTP協(xié)議、SMTP協(xié)議等。

傳輸層：負責向兩臺主機進程之間的通信提供數(shù)據(jù)傳輸服務。傳輸層的協(xié)議主要有傳輸控制協(xié)議TCP和用戶數(shù)據(jù)協(xié)議UDP。

網(wǎng)絡層：選擇合適的路由和交換結點，確保數(shù)據(jù)及時傳送。主要包括IP協(xié)議。

數(shù)據(jù)鏈路層：在兩個相鄰節(jié)點之間傳送數(shù)據(jù)時，數(shù)據(jù)鏈路層將網(wǎng)絡層交下來的 IP 數(shù)據(jù)報組裝成幀，在兩個相鄰節(jié)點間的鏈路上傳送幀。

物理層：實現(xiàn)相鄰節(jié)點間比特流的透明傳輸，盡可能屏蔽傳輸介質(zhì)和物理設備的差異。

2、三次握手

3、四次揮手

4、為什么不是兩次握手

5、四次揮手中為什么等待2MSL

6、HTTP和HTTPS區(qū)別

http 協(xié)議是免費使用的，而 https 協(xié)議需要到CA機構申請證書，需要繳納費用
http 是超文本傳輸協(xié)議，信息是明文傳輸，https 則是具有安全性的 ssl/tls 加密傳輸協(xié)議，信息是密文
http 的連接很簡單，是無狀態(tài)的；https 協(xié)議是由SSL/TLS+HTTP協(xié)議構建的可進行加密傳輸、身份認證的網(wǎng)絡協(xié)議，比 http 協(xié)議安全
和 http 通信相比，https 通信會由于加減密處理消耗更多的CPU和內(nèi)存資源
http 和 https 使用的端口也不一樣，前者是80，后者是443

7、對稱加密與非對稱加密

對稱加密：

對稱加密是指加密和解密使用同一個密鑰的方式，一方通過密鑰將信息加密后，把密文傳給另一方，另一方通過這個相同的密鑰將密文解密，轉換成可以理解的明文。

非對稱加密：

使用一對非對稱密鑰加密，即公鑰和私鑰，公鑰可以隨意發(fā)布，任何人都能獲得，但私鑰只有自己知道

發(fā)送密文的一方使用對方的公鑰進行加密處理，對方接收到加密信息后，使用自己的私鑰進行解密。公開密鑰與私有密鑰是一對，如果用公開密鑰對數(shù)據(jù)進行加密，只有用對應的私有密鑰才能解密；如果用私有密鑰對數(shù)據(jù)進行加密，那么只有用對應的公開密鑰才能解密。因為加密和解密使用的是兩個不同的密鑰，所以叫作非對稱加密

8、什么是數(shù)字證書

9、HTTPS工作流程

HTTPS 協(xié)議是安全的，因為 HTTPS 協(xié)議會對傳輸?shù)臄?shù)據(jù)進行加密，而加密過程是使用了非對稱加密實現(xiàn)。但是 HTTPS 在內(nèi)容傳輸使用的是對稱加密，在證書驗證階段使用非對稱加密

所以HTTPS加密方式是：對稱加密 + 非對稱加密混合

① 證書驗證階段：

1）瀏覽器發(fā)起 HTTPS 請求；

2）服務端返回 HTTPS 證書；

3）客戶端驗證證書是否合法，如果不合法則提示告警。

② 數(shù)據(jù)傳輸階段：

1）當證書驗證合法后，在本地生成隨機數(shù)；

2）通過公鑰加密隨機數(shù)，并把加密后的隨機數(shù)傳輸?shù)椒斩耍?/p>

3）服務端通過私鑰對隨機數(shù)進行解密；

4）服務端通過客戶端傳入的隨機數(shù)構造對稱加密算法，對返回結果內(nèi)容進行加密后傳輸。

10、HTTP常見狀態(tài)碼

200 OK：表示從客戶端發(fā)送給服務器的請求被正常處理并返回成功
301 Moved Permanently：永久性重定向，表示請求的資源被分配了新的URL，之后應使用更改的URL；
302 Found：臨時性重定向，表示請求的資源被分配了新的URL，希望本次訪問使用新的URL；
400 Bad Request：表示請求報文存在語法錯誤；
403 Forbidden：服務器拒絕該次訪問（訪問權限問題）
404 Not Found：表示服務器上無法找到請求的資源（也可以在服務器拒絕請求但不想給拒絕原因時使用）
500 Inter Server Error：表示服務器在執(zhí)行請求時發(fā)生了錯誤，也有可能是web應用存在的bug或某些臨時的錯誤時；
503 Server Unavailable：表示服務器暫時處于超負載或正在進行停機維護，無法處理請求；

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11、HTTP長連接和短連接，流水線是什么

長連接和短連接：

HTTP1.0默認使用的是短連接。瀏覽器和服務器每進行一次HTTP操作，就建立一次連接，任務結束就中斷連接。

HTTP/1.1起默認使用長連接。要使用長連接，客戶端和服務器的HTTP響應頭部的Connection要設置為keep-alive，才能支持長連接。

HTTP長連接，指的是復用TCP連接。多個HTTP請求可以復用同一個TCP連接，這就節(jié)省了TCP連接建立和斷開的消耗。

流水線：

默認情況下，HTTP 請求是按順序發(fā)的，下一個請求只有在當前請求收到響應之后才會被發(fā)出，有點像停止等待協(xié)議。而在收到下一個請求之前，可能需要很長時間。流水線就是在一個 HTTP 長連接下連續(xù)發(fā)出請求，不用等待響應返回，減少延遲。

12、GET和POST區(qū)別和應用

GET產(chǎn)生的URL地址可以在書簽收藏，而POST不可以。

GET請求會被瀏覽器主動緩存，而POST不會，除非手動設置。

GET請求只能進行url編碼，而POST支持多種編碼方式。

GET請求參數(shù)會被完整保留在瀏覽器歷史記錄里，而POST中的參數(shù)不會被保留。

GET請求在URL中傳送的參數(shù)是有長度限制的（通常URL不大于2048個字符），而POST沒有。

對參數(shù)的數(shù)據(jù)類型，GET只接受ASCII字符，而POST沒有限制。

GET比POST更不安全，因為參數(shù)直接暴露在URL上，所以不能用來傳遞敏感信息。

GET參數(shù)通過URL拼接傳遞，POST參數(shù)通過請求體傳遞

GET產(chǎn)生一個TCP數(shù)據(jù)包；POST產(chǎn)生兩個TCP數(shù)據(jù)包。對于GET方式的請求，瀏覽器會把請求頭和請求體一并發(fā)送出去；而對于POST，瀏覽器先發(fā)送請求頭，服務器響應100 continue，瀏覽器再發(fā)送請求體。

13、TCP和UDP區(qū)別和應用

TCP是可靠傳輸，UDP是不可靠傳輸;

TCP面向連接，UDP無連接，即發(fā)送數(shù)據(jù)之前不需要建立連接

TCP傳輸數(shù)據(jù)有序，UDP不保證數(shù)據(jù)的有序性;

TCP面向字節(jié)流，把數(shù)據(jù)看成一連串字節(jié)流，UDP是面向報文的

TCP傳輸速度相對UDP較慢;

TCP有流量控制和擁塞控制，UDP沒有;

TCP是重量級協(xié)議，UDP是輕量級協(xié)議;

TCP首部20字節(jié)，UDP首部8字節(jié);

TCP連接只能是一對一的（端到端）；UDP支持一對一、一對多、多對一和多對多的通信方式。

14、瀏覽器輸入URL到頁面返回詳細過程

輸入網(wǎng)址輸入要訪問的網(wǎng)址，即URL

緩存解析瀏覽器獲取URL后，先去緩存中查找資源，從瀏覽器緩存-系統(tǒng)緩存-路由器緩存中查看；如果有就從緩存中顯示界面，不再發(fā)送請求；如果沒有，則發(fā)送http請求；

域名解析發(fā)現(xiàn)緩存中沒有資源，發(fā)送http請求；在發(fā)送http請求之前，需要進行DNS解析(域名解析)； DNS解析：域名到IP地址的轉換過程，域名的解析工作由DNS服務器完成，解析后可以獲取域名相應的IP地址；

tcp連接三次握手在域名解析后，瀏覽器向服務器發(fā)起了http請求，tcp連接；因為tcp協(xié)議時面向連接的，所以在傳輸數(shù)據(jù)前必須建立連接，即三次握手；tcp連接建立后，瀏覽器開始向服務器發(fā)送http請求報文

收到請求服務器收到瀏覽器發(fā)送的請求信息，返回響應

頁面渲染瀏覽器收到服務器發(fā)送的響應，顯示頁面內(nèi)容。

15、什么是Cookie和Session，二者區(qū)別

區(qū)別：

16、什么是ARP協(xié)議

17、什么是XSS攻擊

XSS攻擊原理是攻擊者向有XSS漏洞的網(wǎng)站中輸入惡意的 HTML 代碼，當用戶瀏覽該網(wǎng)站時，這段 HTML 代碼會自動執(zhí)行，從而達到攻擊的目的。

例如：<script>alert("close me!")</script>

XSS 攻擊類似于 SQL 注入攻擊，SQL注入攻擊中以SQL語句作為用戶輸入，從而達到查詢/修改/刪除數(shù)據(jù)的目的，而在xss攻擊中，通過插入惡意腳本，實現(xiàn)對用戶游覽器的控制，獲取用戶的一些信息。

18、DNS解析過程

瀏覽器搜索自己瀏覽器的DNS緩存

若沒有，則搜索本地操作系統(tǒng)中的DNS緩存和hosts文件

若沒有，則操作系統(tǒng)將域名發(fā)送至本地域名服務器，本地域名服務器查詢自己的DNS緩存，查找成功則返回結果，否則依次向根域名服務器、頂級域名服務器、權限域名服務器發(fā)起查詢請求，最終返回IP地址給本地域名服務器

本地域名服務器將得到的IP地址返回給操作系統(tǒng)，同時自己也將IP地址緩存起來

操作系統(tǒng)將 IP 地址返回給瀏覽器，同時自己也將IP地址緩存起來

瀏覽器得到域名對應的IP地址

19、談談IP地址和MAC地址

20、TCP流量控制（滑動窗口機制）

21、TCP擁塞控制

擁塞控制和流量控制不同，前者是一個全局性的過程，而后者指點對點通信量的控制。在某段時間，若對網(wǎng)絡中某一資源的需求超過了該資源所能提供的可用部分，網(wǎng)絡的性能就要變壞。這種情況就叫擁塞。

擁塞控制就是為了防止過多的數(shù)據(jù)注入到網(wǎng)絡中，這樣就可以使網(wǎng)絡中的路由器或鏈路不致于過載。擁塞控制所要做的都有一個前提，就是網(wǎng)絡能夠承受現(xiàn)有的網(wǎng)絡負荷。擁塞控制是一個全局性的過程，涉及到所有的主機，所有的路由器，以及與降低網(wǎng)絡傳輸性能有關的所有因素。相反，流量控制往往是點對點通信量的控制，是個端到端的問題。流量控制所要做到的就是抑制發(fā)送端發(fā)送數(shù)據(jù)的速率，以便使接收端來得及接收。

為了進行擁塞控制，TCP 發(fā)送方要維持一個擁塞窗口(cwnd)的狀態(tài)變量。擁塞控制窗口的大小取決于網(wǎng)絡的擁塞程度，并且動態(tài)變化。發(fā)送方讓自己的發(fā)送窗口取為擁塞窗口和接收方的接受窗口中較小的一個。 TCP的擁塞控制采用了四種算法，即：慢開始、擁塞避免、快重傳和快恢復。在網(wǎng)絡層也可以使路由器采用適當?shù)姆纸M丟棄策略（如：主動隊列管理AQM），以減少網(wǎng)絡擁塞的發(fā)生。

慢開始：

慢開始算法的思路是當主機開始發(fā)送數(shù)據(jù)時，如果立即把大量數(shù)據(jù)字節(jié)注入到網(wǎng)絡，那么可能會引起網(wǎng)絡阻塞，因為現(xiàn)在還不知道網(wǎng)絡的符合情況。經(jīng)驗表明，較好的方法是先探測一下，即由小到大逐漸增大發(fā)送窗口，也就是由小到大逐漸增大擁塞窗口數(shù)值。cwnd初始值為 1，每經(jīng)過一個傳播輪次，cwnd 加倍。

擁塞避免：擁塞避免算法的思路是讓擁塞窗口 cwnd 緩慢增大，即每經(jīng)過一個往返時間 RTT 就把發(fā)送方的 cwnd 加 1。

快重傳與快恢復：在 TCP/IP 中，快速重傳和快恢復（FRR）是一種擁塞控制算法，它能快速恢復丟失的數(shù)據(jù)包。

沒有 FRR，如果數(shù)據(jù)包丟失了，TCP 將會使用定時器來要求傳輸暫停。在暫停的這段時間內(nèi)，沒有新的或復制的數(shù)據(jù)包被發(fā)送。有了FRR，如果接收機接收到一個不按順序的數(shù)據(jù)段，它會立即給發(fā)送機發(fā)送一個重復確認。如果發(fā)送機接收到三個重復確認，它會假定確認件指出的數(shù)據(jù)段丟失了，并立即重傳這些丟失的數(shù)據(jù)段。有了FRR，就不會因為重傳時要求的暫停被耽誤。當有單獨的數(shù)據(jù)包丟失時，快速重傳和快恢復（FRR）能最有效地工作。當有多個數(shù)據(jù)信息包在某一段很短的時間內(nèi)丟失時，它則不能很有效地工作。

22、TCP 如何保證可靠傳輸

數(shù)據(jù)包校驗：目的是檢測數(shù)據(jù)在傳輸過程中的任何變化，若校驗出包有錯，則丟棄報文段并且不給出響應，這時 TCP 發(fā)送數(shù)據(jù)端超時后會重發(fā)數(shù)據(jù)；

對失序數(shù)據(jù)包重排序：既然 TCP 報文段作為 IP 數(shù)據(jù)報來傳輸，而 IP 數(shù)據(jù)報的到達可能會失序，因此 TCP 報文段的到達也可能會失序。TCP 將對失序數(shù)據(jù)進行重新排序，然后才交給應用層；

丟棄重復數(shù)據(jù)：對于重復數(shù)據(jù)，能夠丟棄重復數(shù)據(jù)；

應答機制：當 TCP 收到發(fā)自 TCP 連接另一端的數(shù)據(jù)，它將發(fā)送一個確認。這個確認不是立即發(fā)送，通常將推遲幾分之一秒；

超時重發(fā)：當 TCP 發(fā)出一個段后，它啟動一個定時器，等待目的端確認收到這個報文段。如果不能及時收到一個確認，將重發(fā)這個報文段；

流量控制：TCP 連接的每一方都有固定大小的緩沖空間。TCP 的接收端只允許另一端發(fā)送接收端緩沖區(qū)所能接納的數(shù)據(jù)，這可以防止較快主機致使較慢主機的緩沖區(qū)溢出，這就是流量控制。TCP 使用的流量控制協(xié)議是可變大小的滑動窗口協(xié)議。

23、HTTP請求轉發(fā)和重定向的區(qū)別

24、什么是DHCP協(xié)議

DHCP（動態(tài)主機配置協(xié)議）是一個局域網(wǎng)的網(wǎng)絡協(xié)議。

指的是由服務器控制一段IP地址范圍，給用戶提供了即插即用的聯(lián)網(wǎng)方式，用戶不需要再手動配置 IP 地址等信息

該協(xié)議自動為用戶分配TCP/IP參數(shù)信息，如：IP地址，子網(wǎng)掩碼，網(wǎng)關等信息。

25、什么是SQL注入

SQL注入就是將原本的SQL語句的邏輯結構改變，使得SQL語句的執(zhí)行結果和原本開發(fā)者的意圖不一樣；

比如說我們通過賬號密碼進行登錄，首先需要進行查詢判斷：

"select * from t_user where name="張三" and password="123456"

如果我們把or 1=1作為拼接在密碼末尾傳入進來，執(zhí)行查詢的時候sql會變成

"select * from t_user where name="張三" and password="123456" or 1=1

密碼永遠都是成立的，所以，前面無論密碼正確與否都會成功登錄

我們使用預編譯語句就可以避免這個問題，例如：JDBC中的PrepareStatement或MyBatis中#{}

將sql預編譯，傳參數(shù)的時候，不會改變sql語句結構，就可以避免注入。

26、URL和URI區(qū)別

URL，統(tǒng)一資源定位符，URL 其實就是我們平時上網(wǎng)時輸入的網(wǎng)址，它標識一個互聯(lián)網(wǎng)資源，并指定對其進行操作或獲取該資源的方法。例如 https://leetcode-cn.com/problemset/all/ 這個 URL，標識一個特定資源并表示該資源的某種形式是可以通過 HTTP 協(xié)議從相應位置獲得。

URI，統(tǒng)一資源標識符，URL 是 URI 的一個子集，兩者都定義了資源是什么，而 URL 還定義了如何能訪問到該資源。URI 是一種語義上的抽象概念，可以是絕對的，也可以是相對的，而URL則必須提供足夠的信息來定位，是絕對的。簡單地說，只要能唯一標識資源的就是 URI，在 URI 的基礎上給出其資源的訪問方式的就是 URL。

通俗理解：

URI表示的是一個抽象的地址，URL表示的是一個詳細的地址。
抽象的地址：遼寧省大連市（這是一個抽象的地址，相當于URI）
詳細的地址：遼寧省大連市高新園區(qū)軟件園B2（這是一個詳細的地址，相當于URL）
為什么URL是URI的子集，高新園區(qū)軟件園B2（URL）屬于遼寧省大連市（URI）
那么https://www.csdn.net 是一個URI（URI只指明了服務器的地址，沒有具體到文件是什么類型）
那么https://www.csdn.net/image/logo.gif就是一個URL（他具體到了logo文件的位置并且logo文件是gif類型的）

27、粘包與拆包

產(chǎn)生原因：

要發(fā)送的數(shù)據(jù)小于TCP發(fā)送緩沖區(qū)的大小，TCP將多次寫入緩沖區(qū)的數(shù)據(jù)一次發(fā)送出去，將會發(fā)生粘包；
接收數(shù)據(jù)端的應用層沒有及時讀取接收緩沖區(qū)中的數(shù)據(jù)，將發(fā)生粘包；
要發(fā)送的數(shù)據(jù)大于TCP發(fā)送緩沖區(qū)剩余空間大小，將會發(fā)生拆包；
待發(fā)送數(shù)據(jù)大于MSS（最大報文長度），TCP在傳輸前將進行拆包。即TCP報文長度-TCP頭部長度>MSS。

解決策略：

消息定長。發(fā)送端將每個數(shù)據(jù)包封裝為固定長度（不夠的可以通過補0填充），這樣接收端每次接收緩沖區(qū)中讀取固定長度的數(shù)據(jù)就自然而然的把每個數(shù)據(jù)包拆分開來。
設置消息邊界。服務端從網(wǎng)絡流中按消息邊界分離出消息內(nèi)容。在包尾增加回車換行符進行分割，例如FTP協(xié)議。
將消息分為消息頭和消息體，消息頭中包含表示消息總長度（或者消息體長度）的字段。
更復雜的應用層協(xié)議。

28、什么是阻塞和非阻塞，同步和異步

阻塞和非阻塞：調(diào)用者在事件沒有發(fā)生的時候，一直等待事件發(fā)生，不能處理其他任務是阻塞。調(diào)用者在事件沒有發(fā)生的時候，可以去處理別的事務這是非阻塞。

同步和異步：調(diào)用者循環(huán)查看事件有沒有發(fā)生，這種情況是同步。調(diào)用者不用自己去查看事件有沒有發(fā)生，而是等待注冊在時間上的回調(diào)函數(shù)自己通知自己，這是異步。

29、HTTP版本區(qū)別（1.0，1.1，2.0）

HTTP1.0：

HTTP1.0僅提供了最基本的認證，用戶名和密碼都未加密（明文）
HTTP1.0僅支持短連接，每次發(fā)送數(shù)據(jù)都會經(jīng)過TCP三次握手和四次揮手，效率低
HTTP1.0只使用了header的if=modified-Since和Expires作為緩存失效的標準
HTTP1.0不支持端點續(xù)傳，每次發(fā)送數(shù)據(jù)都會發(fā)送全部數(shù)據(jù)
HTTP1.0認為每臺計算機都只能綁定一個IP地址，不支持虛擬網(wǎng)絡

HTTP1.1：

HTTP1.1使用了摘要算法進行身份驗證
HTTP1.1默認使用長連接：只需要建立一次連接，可以傳輸多次數(shù)據(jù)，傳輸完成之后，只需要一次切斷即可。通過請求頭的 Connection: keep-alive設置
HTTP1.1支持端點續(xù)傳：通過請求頭的Range實現(xiàn)
HTTP1.1使用了虛擬網(wǎng)絡：在一臺物理服務器上可以存在多個虛擬主機，共享一個IP地址

HTTP2.0：

HTTP2.0支持頭部壓縮：利用HPACK算法進行壓縮，由于HTTP1.1頭部經(jīng)常出現(xiàn)Cookie、Accept、Sever、Range等字段可能會占用幾百到幾千字節(jié)，而body有時只有幾十字節(jié)（“頭重身輕”）
HTTP2.0使用二進制格式：HTTP2.0選擇了更靠近TCP/IP的二進制格式，拋棄了ASCII碼，提高了解析效率
HTTP2.0強化安全：HTTP2.0一般都跑在HTTPS上
HTTP2.0多路復用：一個連接上可以有多個請求

30、IP地址的分類

圓模型1：定點定長模型(圓的定義)。

這是定點定長模型，定點定長模型顧名思義，定點，也就是有個定點，還有個定長，一個是定點，一個是定長。

來看一下什么叫定點定長？這個點也是定點，AB是定長，AC是定長，OP為圓，BC為動點，并且且AB等于于AC，AC等于于AP，BC、P四點三點共圓，其中定點是A，半徑是定長。

此時要發(fā)現(xiàn)這個是演員模型，要發(fā)現(xiàn)它是演員模型，也就是要把圓找出來，也就是以A為圓心，以B為半徑做一個圓。這種以圓模型只要把圓形當它現(xiàn)了圓形，自然而然題目就做完了。

知識點就是這么簡單，它的來源，引源的第一個叫做源的定義，引源模型的第一個的原理叫做源的定義，通常在翻折里面會出現(xiàn)。

一起來看一下在邊長為二的菱形中，首先一起來看一下這個是邊長為二的菱形，點M是終點，也就是MD是一，點N是上面的一個動點，點N是一個動點，一起來看一下，點N是一個動點，它是在運動。

接下來沿著mn翻折上去，得到了APM連接APC，要求APC的最小，這道題目就是典型的定點定長模型。

什么叫定點定長模型？首先一起來看一下，點M是定點，點M、AP、S硬長都等于幾？一，看MD、AM、A、M、A、P，說明D、A、P是共圓的，以M為圓形，以一為半徑。

找到了演員，找到了演員就很簡單，把這個讓這個圓形像打妖怪一樣，把這個圓形讓它現(xiàn)一下原形，現(xiàn)完原形以后發(fā)現(xiàn)M、A、P始終是在這個圓上運動，在圓上運動要打妖怪就得打它的心臟。

也就是在圓中球最值得問題的時候通常都是一箭穿心，什么叫一箭穿心？就是圓心跟點心連接起來，此時一箭穿心，什么時候當點A、P到這個的時候就是最小值，也就是要求M、C只要一箭穿心，此時M、點、A片運動到這個的時候取得最小值。

此時劉老師又教大家一個秘籍，其他老師是不肯教你們的，因為教會了你，教。會了徒弟餓死了師傅。劉老師這里教大家一個秘籍，在初中幾何這個階段，初中幾何一般都是直角三角形，也就是說初中幾何一半都是考直角三角形，也就是說要求mc的長度就要構造一個直角三角形。

但包括這個就很簡單，余弦定理，因為這個是一百二十度一二二，直接求助，直接寫出mc，用余弦定理直接寫，但是因為初中階段沒有起，沒有交，沒有交都是用構造直角三角形的方法。

接下來構造一個直角三角形，過點m片做cd的顏色延長線的垂線，做完垂線以后知道這邊是六十度，這個是六十度，這個是二分之一，這個就是二分之根號三，mc就可以求出來就是二分之五的平方，二分之根號三的平方就四分之三，開根號就是mc。

來看一下這個等于四分之二十五加上四分三，四分之二十八開根號，就二分之二根號七，十七二十八，就等于根號七，mc等于根號七，還要減去個一，所以是根號七一。劉老師就這么輕松的給大家秒殺了這道題目。

正常情況下園中的這種球最大值最小值正常就三步驟。

·第一步，把妖怪讓它現(xiàn)原形。

·第二步，要把妖怪給打死，就一箭穿心，打它心臟。

·第三步，后招是叫三角形。

今天如果涉及到對折的問題，劉老師都是用這三步干掉元中最難的問題，一起來看一下，來試一試是不是三步干掉元中最難的位置。

來看一下辨識訓練，在如圖直角三角形a、b、c，中角c是九十度，ac是六，bc是八，這個是點f是在a、c上，并且cf是二點一，是bc上的一個動點，這個是個動點，一起來看一看，這個是一個動點，對不對？這個是一個運動的點。

繼續(xù)看，將點c、e、f沿著e、f給它翻折，點c落在點p、p、n，點點p、n到ad的距離，此時也是一樣，知道fp不管怎么運動始終等于，所以先找出這種也是典型的定點定長模型，在經(jīng)常在壓軸題里面最后一問或者倒數(shù)第二問出現(xiàn)，只是考到了你不知道而已。

此時來看一下，不妨把點p的北極畫出來，也就是按第一步現(xiàn)原形，發(fā)現(xiàn)這個是以f為圓心，以二為半徑的一個圓上，一起來看一看，是不是在這上面運動，在這個上面運動，正常一看這種題目在運動到什么時候最短，也就是一箭穿心，過圓心做ab的垂線，垂線段最短，此時，來看一下線段最短。第一步，線原形。第二步，一箭穿心。第三步，構造直角三角形。因為要求出fd，然后再減去半徑最小值對不對？但是這里有沒有現(xiàn)成的直角三角形？有，所以第三步構造直角三角形就省了。

此時一起來看一下可以口算出答案，因為這條斜邊是等于四，四比上幾？四比上這條斜邊，這個大的三角形是什么？等于fd，fd比三十八，此時求出fd是等于三點二，三點二這邊是二，這也就說最小值就是一點二，這都可以口算。

接下來來看第二道聽，第三道聽還是一樣，但是是動態(tài)的將軍音。

.4.3 到一條定直線的距離等于定長的點的軌跡演示

操作步驟如下：

第1步：新建一個幾何畫板文件；用“畫直線”工具畫直線AB；用“畫點”工具在直線AB上任意畫一點C。

第2步：在直線AB上制作點的動畫。

用“選擇”工具選擇點C，并選擇“編輯”菜單的“操作類按扭”命令，在子菜單中選擇“動畫”，打開“操作類按扭運動點的屬性”對話框，把速度設置為“快速”，單擊“確定”，作出“運動點”按扭。

第3步：制作一個跟隨點C運動的點，且在運動過程中保持與直線AB等距離

(1) 用“畫點”工具在直線AB外任意畫一點D。用“選擇”工具在空白處單擊。

(2) 依次選擇點A、C，并選擇“變換”菜單的“標記向量”命令。

(3) 用“選擇”工具選擇點D，并選擇“變換”菜單的“平移”命令，單擊“平移”，作出點D'。

第4步：作點D'關于直線AB對稱的點。

(1) 選擇直線AB，并選擇“變換”菜單的“標記鏡面”命令。

(2) 選擇點D'，并選擇“變換”菜單的“反射”命令，作出點D'關于直線AB對稱點D''。

(3) 用“畫線段”工具畫線段D'D''，用“選擇”工具單擊線段D'D''與直線AB的交點處，作出交點為E。

第5步：用“選擇”工具選擇點D'、D''，并選擇“顯示”菜單的“追蹤點”命令。

第6步：完善課件。

(1) 選擇點D'、E，并選擇“度量”菜單的“距離”命令，度量出點D'、E的距離，如D'E＝0.9厘米。

同理，度量出D''E＝0.9厘米。

(2) 把點D''設置為綠色。

(3) 把“運動點”按扭的標簽改為“演示”。

單擊“運動點”按扭，點D'、D''分別畫出平行于直線AB并且與直線AB的距離相等的兩條直線，如圖3-79所示。

按下Ctrl+B擦除軌跡，拖動點D'，改變距離，再單擊“演示”按扭，試試。

(4) 添加標題“到一條定直線的距離等于定長的點的集合”。隱藏點C、D、E。

文件存盤為“例3-23”。

練習

制作到兩條平行線距離相等的點的軌跡演示課件。

3.4.4 探索點的軌跡

設在一個平面內(nèi)，點C是一個定點，點D是定圓O上的一個動點，作線段CD的垂直平分線與直線OD的交點P，求點D繞圓O轉動時，點P的軌跡。

操作步驟如下：

第1步：畫出滿足條件的圖形。

(1) 新建一個幾何畫板文件，并用“畫圓”工具畫圓A。

(2) 用“選擇”工具雙擊點A的標簽，打開“點的屬性”對話框，把點A的標簽改為O，并隱藏點B。

(3) 用“畫點”工具在圓A內(nèi)畫一點C，在圓上畫一點D。

(4) 用“畫直線”工具畫直線OD。

(5) 用“畫線段”工具畫線段CD，此時，CD處于被選擇狀態(tài)，立即選擇“構造”菜單的“中點”命令，作出中點E。

(6) 用“選擇”工具選擇點E、線段CD，并選擇“構造”菜單的“垂線”命令，作出CD的垂直平分線，單擊該垂直平分線與直線OD的交點處，作出交點F。把點F的標簽改為P。

第2步：選擇點P，并選擇“顯示”菜單的“追蹤交點”命令。

第3步：為點D制作動畫按扭。

選擇點D、并選擇“編輯”菜單的“操作類按扭”命令，在子菜單中選擇“動畫”，打開“操作類按扭運動點的屬性”對話框，把運動方向設置為“逆時針方向”；選擇“標簽”選項卡，把按扭的標簽改為“點P的軌跡”，單擊“確定”。

第4步：探求點P的軌跡。

(1) 單擊“點P的軌跡”按扭，點P隨著點D運動而產(chǎn)生的軌跡為橢圓，如圖3-80所示。

(2) 按下Ctrl+B擦除軌跡；用“選擇”工具拖動點C，使點C與點O重合，則點P的軌跡為圓，如圖3-81所示。

(3) 按下Ctrl+B擦除軌跡；拖動點C，使點C落到圓O上，則點P的軌跡為點圓，如圖3-82所示。

(4) 按下Ctrl+B擦除軌跡；拖動點C到圓外，點P的軌跡為雙曲線，如圖3-83所示。

文件存盤為“例3-24”

【提示】

(1) 本例第4步(2)，如果不好作拖動操作，可以制作一個點C向點O移動的按扭，并把移動速度設置為高速。

(2) 本例中，如果在半徑OD上任意畫一點，我們還可以探求該點的軌跡。

(3) 讀者可以對點P的軌跡作出證明。

練習

在一個平面內(nèi)，點C是一個定點，點D是定圓O上的一個動點，過線段CD的中點作直線OD的垂線，垂足為P，求點D繞圓O轉動時，點P的軌跡。

3.4.5 滾動的多邊形軌跡演示

第1 步：制作參數(shù)，并制作參數(shù)的增加/減少按扭。

(1) 新建一個幾何畫板文件，用“畫射線”工具畫射線AB，用“畫點”工具在射線AB上畫一點C。用“選擇”工具在空白處單擊。

(2) 依次選擇點A、B，并選擇“變換”菜單的“標記向量”命令。

(3) 選擇點C，并選擇“變換”菜單的“平移”命令，作出點C'。

(4) 依次選擇點A、B、C，并選擇“度量”菜單的“比”命令，度量出比值，如

(4) 選擇點D、E、N－2＝2，按下Shift鍵，并選擇“變換”菜單的“帶參數(shù)的迭代”命令，打開“迭代”對話框，依次單擊點E'、D，如圖3-85所示，單擊“迭代”作出正方形。

單擊“N+”按扭，多邊形的邊隨著N值的變化而變化。

(5) 隱藏射線AB、點A、B、C、C'、E'、t＝4。

第3步：作正多邊形的中心。

(1) 選擇線段DE，并選擇”構造“菜單的”中點“命令，作出中點F。

(2) 選擇點F、線段DE，并選擇選擇”構造“菜單的”垂線“命令，作出垂線j。用“選擇”工具在空白處單擊。

(3) 選擇點E，并選擇“變換”菜單的“旋轉”命令，打開“旋轉”對話框，單擊

第5步：完善課件。

(1) 選擇點H，并選擇“編輯”菜單的“操作類按鈕”命令，在子菜單中選擇“動畫”，打開“操作類按鈕運動點的屬性”對話框，把速度設置為“快速”，單擊“確定”，作出“運動點”按鈕。

(2) 依次選擇“移動點”、“運動點”按鈕，并選擇“編輯”菜單的“操作類按鈕”命令，在子菜單中選擇“系列”，打開“操作類按鈕系列的屬性”對話框，選中“依序執(zhí)行”、“清除所有軌跡”，把按扭的標簽改為“演示”。

(3) 把N值的精確度設置為“單位”。

(4) 選擇點K、X'，并選擇顯示菜單的“追蹤”命令。把點K設置為綠色。隱藏不需要顯示的對象。

單擊“演示”，作出正方形中心和頂點的軌跡，如圖3-88所示。

單擊“N+”，再單擊“演示”按扭，可以看到邊數(shù)增加后的正多邊形轉動的情況。

(5) 添加標題“滾動的多邊形”，把背景設置為灰色。

文件存盤為“例3-25”