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查 發自 凹非寺
量子位 報道 | 公眾號 QbitAI
以快速簡潔聞名Julia，本身就是為計算科學的需要而生。用它來學習微積分再合適不過了，而且Julia的語法更貼近實際的數學表達式，對沒學過編程語音的初學者非常友好。
最近，來自紐約斯塔頓島學院的數學系教授John Verzani編寫了一份微積分與Julia的教程，里面常見的微積分概念和圖像演示都有，比課本更生動直觀，每個章節后還附習題供讀者鞏固知識。
雖然很多學校在使用Mathematica、Maple等數學軟件在進行教學，但是Julia的優勢是完全開源和免費。
準備工作
在使用教程之前，我們先給Julia安裝Plots包，這是用來繪制函數圖像的擴展包。此外還要安裝SymPy科學計算庫等其他軟件包。
using Pkg
Pkg.add("Plots")
Pkg.add("SymPy")
Pkg.add("Roots")
Pkg.add("ForwardDiff")
Pkg.add("ImplicitEquations")
using Plots
plot(sin, 0, 2pi)
安裝完以上的擴展包，就可以繪制函數圖像了。我們簡單繪制0到2π范圍的正弦函數圖像：
using Plots plot(sin, 0, 2pi)
Julia支持輸入特殊數學符號，具體的方法是斜杠\后緊跟符號的LaTeX名稱，然后按下Tab鍵，就能輸出特殊字符。比如：
θ=45; v?=200
輸入θ的方法是\theta[tab]，輸入v?的方法是v\_0[tab]。
導數
完成了Julia部分的基本教學后，下面就是微積分的基本概念了。
先回顧一下導數的定義，從函數圖像上來看，導數就是函數割線斜率的極限，當割線上兩點合并成一點時，它就變為切線。
其實就是求下面的極限：
Julia集成了求極限的功能，對于正弦函數sin(x)而言，求它的導數就是[sin(x+h)-sin(x)]/h在h趨于0時的極限
using SymPy limit((sin(x+h) - sin(x))/ h, h, 0)
通過以上方法求得sin(x)在x=0處的導數為1，繪制成函數圖像就是：
f(x)=sin(x) c=0 tl(x)=f(c) + 1 * (x - c) plot(f, -pi/2, pi/2) plot!(tl)
導數的應用
1、牛頓法
通過切線逐步逼近，求方程的近似解。
2、洛必達法則求極限
寫成Julia語言：
using SymPy
a,x=symbols("a, x", positive=true, real=true)
f(x)=sqrt(2a^3*x - x^4) - a * (a^2*x)^(1//3)
g(x)=a - (a*x^3)^(1//4)
上面的表達式過于復雜，是0/0的未定式，對分子f(x)和分母g(x)分別分別求導：
fp, gp=subs(diff(f(x),x), x=>a), subs(diff(g(x),x), x=>a)
得到結果
(-4*a/3, -3/4)
所以極限值為16a/9。
積分
定積分就是求函數曲線下包圍面積：
上圖展示了求定積分的方法：把函數下方圖形分割成若干個長條，隨著長條越分越細，這些長條的面積之和就越來越接近曲線下包圍的面積。
為了求函數f(x)=x2在[0,1]區間里的定積分的近似值，我們把整個區域劃分成50000份：
a, b=0, 1 f(x)=x^2 n=50_000 xs=a:(b-a)/n:b deltas=diff(xs) cs=xs[1:end-1] sum(f(cs[i]) * deltas[i] for i in 1:length(deltas))
最后求得結果為：
0.3333233333999998
顯然用這種方法求定積分太過復雜，這就需要引入不定積分的概念。不定積分是已知導數f’(x)求原函數f(x)。
定積分與不定積分由牛頓-萊布尼茲公式聯系起來：
積分的應用
學會了積分以后，教程里給出了它的幾個實際應用案例：
1、求曲線長度
求解f(x)=x2在[0,1]這段區間里的弧長，實際上求積分。
先求不定積分：
using SymPy @vars x F=integrate(sqrt(1 + (2x)^2), x)
F(1)-F(0)就是所求弧長：
2、求體積
求體積的方法是把物體“切”成一圈圈的米其林，每一圈的體積加起來就是總體積。
將直線x/r+y/h=1繞著y軸旋轉一周，得到一個底面直徑為r，高度為h的圓錐體。
using SymPy @vars r h x y R=r*(1 - y/h) integrate(pi*R^2, (y, 0, h))
最后求得體積：
教程中還有很多其他基本概念，由于篇幅較長，我們就不一一介紹了，感興趣的朋友可以去博客中進一步學習。
原文地址：
https://calculuswithjulia.github.io/
— 完 —
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Math.sign()方法用于判斷一個數的符號，即正負性。它的語法形式如下所示：
Math.sign(x);參數x即為要對其符號進行判斷的那個數，如果你傳遞的x不是數字（即它的類型不是Number），那么它會先被轉換為Number類型。
通俗地說，如果x是正數，則Math.sign()方法返回+1；如果x是負數，則返回-1。具體來說，該方法的返回值由下面的規則決定；如果參數x不是數字，那么這些規則中提到的x的值指的是它被轉換為數字后的值。
1. 如果x是NaN，那么結果也是NaN；
2. 如果x是-0，那么結果是-0；
3. 如果x是+0，那么結果是+0；
4. 如果x是負數（不包括-0），那么結果就是-1；
5. 如果x是正數（不包括+0），那么結果就是+1；
注意，+0和+1通常直接顯示為0和1，而不顯示前面的正號。
本示例將展示參數為各種情況下，Math.sign()方法的返回值；它的執行結果如圖1所示。
<script>
/* 參數是Number類型的情況 */
var value1=Math.sign(NaN);
console.log("Math.sign(NaN):");
console.log(value1);
var value2=Math.sign(-0);
console.log("\nMath.sign(-0):");
console.log(value2);
var value3=Math.sign(+0);
console.log("\nMath.sign(+0):");
console.log(value3);
var value4=Math.sign(-6);
console.log("\nMath.sign(-6):");
console.log(value4);
var value5=Math.sign(7);
console.log("\nMath.sign(7):");
console.log(value5);
/* 參數不是數字的情況：
* 字符串"89.22"轉換成數字為89.22；
* 布爾值true轉換成數字為1；
* window對象轉換成數字為NaN。
*/
var value6=Math.sign("89.22");
console.log('\nMath.sign("89.22"):');
console.log(value6);
var value7=Math.sign(true);
console.log("\nMath.sign(true):");
console.log(value7);
var value8=Math.sign(window);
console.log("\nMath.sign(window):");
console.log(value8);
</script>圖1 Math.sign()方法的執行結果
（完）
網頁時，最讓人煩惱的是自己辛辛苦苦寫出來JAVASCRIPT代碼常常被別人輕易的拷貝，實在讓自己的心里有點不是滋味，要知道自己寫點東西也挺累的。
但我們也應該清楚地認識到因為JAVASCRIPT代碼是在IE中解釋執行，要想絕對的保密是不可能的，我們要做的就是盡可能的增大拷貝者復制的難度，讓他知難而退（但愿如此）。
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