士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

本文根據構建對稱元素時使用的最小網格數 (MNG) 和最小幾何形狀 (LGS)，提出了伊斯蘭幾何圖案 (IGP) 的合理分類。現有的按對稱群對重復圖案進行分類的方法在很多情況下并不恰當[Joy97]。對稱群理論與相關工匠的思維方式無關，完全忽略了單位圖案的屬性，只關注排列格式。本文認為，目前的對稱群理論只是將其作為排列格式，而不是對伊斯蘭幾何圖案的分類，因為它們采用的是"全局方法"，未能探索伊斯蘭幾何圖案建筑元素中的各種可能性。星形是伊斯蘭幾何圖案中最重要的元素，也是中心玫瑰花形，它構成了本文研究的核心。本文提出了新的命名法，用于描述基于MNG和LGS 的單元圖案，用于構建可用于實現最終設計的星形/玫瑰花形圖案。本文描述并演示了根據這種分類方法，在單元圖案最終設計所決定的網格中構建星形/輪狀單元圖案的程序。

1. 簡介

早在一千多年前，伊斯蘭工匠就開始在宮殿、清真寺和尖塔的表面裝飾伊斯蘭幾何圖案[Sai76]。這些幾何圖案始終如一地在表面上布滿星形區域，形成極具視覺效果的對稱圖案，因此被稱為 "伊斯蘭幾何圖案"。這些幾何圖案在歷史上常常令群理論家們敬畏不已，他們一直在努力對這些結構進行審慎的分類。人們曾多次嘗試對星形/玫瑰紋圖案進行分類，結果產生了各種各樣的構造組別和分類方法。Grunbaum和Shephard在試圖在獲得基本單元后，根據對稱群對這些幾何圖形進行分解，從而得出原始圖案的屬性[Gru92]。歐洲的群論家 Dewdney 等人提出了一種基于周期性放置的圓的反射線的分類方法 [Dew93]。Lee 提出了伊斯蘭幾何圖案共同特征的簡單構造，但未能提出基準分類定理 [Lee95]。此外，IGP 的一個重要方面也未能吸引任何類型的分類，那就是線條向間隙區域的天真延伸。為了描述延伸區域與單位圖案之間的關系，我們對現有的推斷幾何圖形的復雜性進行了深入研究。阿巴斯（S.J. Abbas）和薩爾曼（A. Salman）在其具有里程碑意義的論文《伊斯蘭幾何圖案的對稱性》（A Symmetries of Islamic Geometrical Patterns）中堅定地認為，到目前為止，還沒有人對伊斯蘭幾何圖案進行有價值的分類，并特別關注其構造 [Abb95]。本文提出的論點是，"7種飾帶群 "和 "17種墻紙群 "等流行的現有對稱群純粹是基礎模型。需要在研究單元圖案構造的基礎上進行更精細、更完善的分類，并特別關注單元圖案的網格系統。通過 MNG、LGS 和網格的排列和組合，這種分類法為單元圖案的完成提供了無限可能。

2. 對稱

對稱意味著平衡、部分重復或形式簡單統一。對稱僅僅意味著圖案。但對稱的范圍遠不止吸引人的建筑和漂亮的圖案那么簡單。不過，在數學上，對稱可以簡單地定義為集合在變換下的屬性不變[Abb92]。群論表明，在一維對稱周期圖案中，可分析為七種不同類型，并提供識別特定對稱類型所需的信息 [Abb95]。同樣，在二維對稱周期圖案中，可以生成和識別十七種不同類型的圖案。單維對稱圖案被稱為 "7種飾帶群"，二維對稱圖案被稱為 "17種墻紙群"。本文通過分析對稱圖案各個元素的構造，直觀地介紹了伊斯蘭幾何圖案中強大的圖案和對稱概念。下文將介紹現有的傳統對稱群理論，以支持我們的觀點，即它們只是排列圖案，而不是幾何圖形的分類理論，更不用說伊斯蘭幾何圖案了。

3. 7種飾帶群

保持給定直線不變（包括沿直線平移）的等距群稱為飾帶群。等距可定義為平面或空間的線性變換，它保持了點與點之間的距離。Andrew Glassner[Gla99]對飾帶群、摩爾紋、鏡面反射和周期性密鋪等許多相關主題進行了非常有啟發性的研究，為了說明7種飾帶群的論點（見圖 1），我們將介紹每個飾帶群的屬性。他展示了創建物理模型的價值，使我們能夠擴展我們的可視化技能和對主題的感知。必須指出的是，從非常明確的意義上講，飾帶群理論誤導了對伊斯蘭幾何圖案的分類。數學家發現，用對稱群來解釋圖案的規則性是非常方便和有用的。這樣，代數學和其他數學學科的成果就可以應用于此類圖案的研究。然而，可以說這并不是工匠們在創作時所考慮的規則性概念。事實上，直到一個多世紀以前，即使對數學家來說，數學對象的規律性也有著完全不同的含義。這兩種方法的區別在很大程度上是全局觀點和局部觀點的對比。過去，數學家們用全等面、等角和其他局部性質的要求來定義柏拉圖多面體等對象的正則性，而現在，人們習慣于用旗子集合上對稱群的反證性來定義正則性。同樣，工匠們的目的很可能是要創造出幾何圖案，其中各部分以某種特定的方式與其近鄰相關，而不是試圖獲得無限延伸設計的整體對稱性。

圖1. Andrew Glassner的7種飾帶群[Gal99] 4.

4. 17種墻紙群

已經證實，在兩個獨立方向上存在17組不同的周期性二維圖案。這 17 個圖案也被通俗地稱為 17種墻紙群。不過，Xah Lee [Lee98] 給出了 17 墻紙群的基本命名法（見圖 2）。克拉克大學的 David E. Joyce [Joy97] 在其關于 17 個平面對稱群的互聯網站中將對稱群視為平面圖案的分類。他寫道：“各種平面圖案可以通過使其不變的變換群來分類。對這些群的數學分析表明，正好有不同的平面對稱群”。現在，從上面的插圖中可以很清楚地看出，飾帶群和墻紙群的理論提出了排列基準，使我們能夠確定格式圖案排列的類型，而不是對單元圖案進行分類。此外，我們還可以得出這樣的結論，即還沒有一種可行的、可論證的方法，從整體上對綜合圖案進行分類，并特別關注其構造。

圖2. Xah Lee [Lee 98] 的17種墻紙群

5. 網格法分類

本文的目的是根據伊斯蘭幾何圖案單元圖案的構建提出一種新的分類法，因為事實證明現有的群理論并不能達到這一目的。

通常，任何給定的伊斯蘭幾何圖案都是根據其給定的幾何形狀來命名的。例如，在 Issam El-Said [Sai93] 的插圖中，圖案可以因為包含六角星而被歸類為六邊形圖案，也可以因為包含八角星而被歸類為八邊形圖案，等等（見圖 3）。但這可能會產生誤導，因為大多數伊斯蘭幾何圖案中最受歡迎的元素星形/玫瑰花形可能是由圓形、三角形、正方形、四邊形和六邊形等幾種幾何形狀組合而成的，而星形/玫瑰花形單元圖案可以根據其基本設計進行歸一化和分類。因此，我們不把這些圖像看作是六邊形或八邊形的單元圖案，而是根據星形/長條形網格的構造和規范化對這些圖像進行分類。并研究特定恒星/輪盤的重要屬性和特性。在我們的方法中，任何給定的恒星/輪盤都可以通過規范化來解密或解構。這一規范化過程將通過識別構成星形/輪廓圖的各個網格來實現。一旦網格元素被分離出來，就能確定可用于實現 n 圖案星形/輪盤的基本幾何形狀。根據我們的觀點，星形解剖過程可分為以下幾個階段：

圖3 六邊形和八邊形圖案由Issam El-Said在《Islamic Art and Architecture, The System of Geometric Design》[Sai93]中提出。

"Geometric Concepts in Islamic Art, I. El Said。Titus Burckhardt 在該書的導言中指出，所有幾何圖案都是通過同樣的方法得出的，即從圓的和諧分割中得出建筑物（或圖案）的所有重要比例....。然而，在某些情況下，作者卻忽略了圓的畫法，諷刺地揭示了圓的存在對于所謂的 "獨特方法 "或 "唯一方法 "是多么的無足輕重（見圖 4.2）[Sai76]。

我們在El-Said的《Islamic Art and Architecture, The System of Geometric Design》[Sai93] 一書中發現了同樣的圖像（見圖 5），并清楚地標出了基圓，這表明El-Said并沒有忽略在圓中繪制單位圖案。在這種情況下，我們可以說（圖 4）是從一個不同的、方便的維度來觀察的，以便于得出合適的結論來證明 W.K. Chorbachi 提出的定理。（圖 5）中的圓是（圖 4）的復制品，它確實構成了設計單位圖案的基礎平面，這也是本文所要論證的。

圖4. 此圖摘自 W. K. Chorbachi，《Tower of Babel, Beyond Symmetry in Islamic Design》[Cho89]的圖 4.2，顯示在推導此圖案時沒有出現圓。摘自 I. El-Said，《Geometric Concepts in Islamic》[Sai76]。

圖 5. 圓形確實出現在單元圖案中。摘自 I. El-Said, Islamic Art and Architecture, The System of Geometric Design [Sai93]。

5.2 分割階段

在這里，我們將圓（360 度）除以 x 個點，從而得出星形/玫瑰花形的預期設計。

5.3 編排網格階段

網格劃分階段將啟動網格劃分過程。該階段是本文所述按時間順序排列的階段中最重要的階段。我們注意到，伊斯蘭幾何圖案中的星形圖案/玫瑰圖案的設計格式多種多樣，彼此迥異。由于伊斯蘭教本身遍布各大洲，每個國家都為伊斯蘭藝術貢獻了自己的藝術遺產。在這種背景下，要正確解讀星形圖案，就必須在非常正確的指導下努力了解星形圖案的類型。我們知道這項工作的復雜性，因為伊斯蘭藝術的本質是非常復雜的，而任何復雜的藝術都很難正常化。這一階段的核心目標是參照用于實現伊斯蘭幾何圖設計的最小網格數 (MNG) 和最小幾何形狀 (LSG) 對星形圖案/玫瑰圖案進行描述和分類。

我選擇了一個不同尋常的復雜圖案來演示我們的分類方法（見圖 6）。該圖案摘自E. Hanbury Hankin 所著的《數學報》"Some Difficult Saracenic Designs, A Pattern Containing Fifteen Rayed Stars"[Han36]。在任何給定的單元圖案中，都需要根據我們的方法進行分類，我們首先要在給定的單元圖案中尋找不同類型的星形/玫瑰花形。我冒昧地給漢金給出的單元圖式涂上了顏色，以顯示給定單元圖式中不同類型的星形/玫瑰花形。給定的單元圖案與眾不同，因為它由兩種類型相似但設計不同的星星組成；一種是十二芒星，尺寸較小，另一種是十五芒星，尺寸較大。讓這個圖案顯得格外特別的是，這兩顆不同大小的星星之間用一組網格線精美地連接在一起。星星的大小并不影響我們的分類，影響我們分類的是每顆星星/玫瑰花瓣的設計方法及其網格屬性。因此，我們得出結論，這個給定的單元圖案的第一個屬性是它由多個星形/網格組成。如果我們開始按照漢金的標準或規范，根據傳統的飾帶群和墻紙群理論對單元圖案進行分類，我們將不得不把封閉區域作為主要的單元圖案。這樣，我們就通過了圖像的有限元素或有限屬性。下文將詳細闡述基于網格元素（MNG）和網格屬性（LGS）的伊斯蘭幾何圖案構建規范化過程。

5.3.1 最小網格數 (MNG)

本節是命名規則的第一部分，其目的是確定最小網格數，即在 n 個網格的頂點與網格邊平分的情況下，網格相互之間的最小網格數。這一部分以最終設計為核心目標。一個無限循環的過程是識別交叉點，并設置頂點之間的正確關系，以實現玫瑰花環的二等分。

5.3.2 最小幾何形狀 (LGS)

這一階段是命名規則的第二部分，目的是在給定的單元圖案中確定用于構建星形/玫瑰花形的最低幾何形狀。下面的插圖（見圖7和圖8）描述了圖案（見圖6）的歸一化系列，以分別實現十二條射線和十五條射線的星形/輪廓線的分類。

十二射線星形/輪廓圖使用 3 個最小網格數（MNG）和一個四邊形作為最低幾何形狀（LGS），而十五射線星形/輪廓圖使用 3 個最小網格數和一個五邊形作為最低幾何形狀。因此，我們將這種圖案（見圖 6）歸類為 網格 3 四邊形/五邊形類。

圖 6：E. Hanbury 的圖案，包含十二（紅）條射線和十五（藍）條射線的星形/輪狀圖案，《數學公報》"Some Difficult Saracenic Designs"[Han36]。

圖 7. 12 射線星被歸類為（網格 3 四邊形類），因為它至少使用了 3 組網格，最低的幾何形狀是四邊形。

圖 8. 15 射線星被歸類為（網格 3 五角星類），因為它至少使用了 3 組網格，最低的幾何形狀是五邊形。

圖 9. 顯示一些伊斯蘭幾何星形/玫瑰花形的分類。

在這些部分之后是一系列圖像，它們將以非常合理和直觀的方式說明歸一化過程，并以可呈現的方式提出我們的觀點（圖 9）。

5.4 藝術階段

這是第四個階段；網格劃分完成后，我們可以通過為網格內部線條賦予權重的方式，為網格賦予必要的藝術屬性，從而設計出所需的星形/輪廓圖。這一階段還包括為 "星形/輪廓圖 "的各個部分著色和填充。

5.5 擴展階段

第五階段是 "名義 "或 "幻影 "階段，因為這一階段可能存在，也可能不存在。在這一階段，自然延伸將在概念邊界（通常為正方形或矩形）內和邊界外的外部區域完成無縫網格（見圖 7 和圖 8）。

圖 10. 此圖為 W. K. Chorbachi [Cho89] 的圖 4.3，顯示圓的方案與長矩形單元不符，標出了一個變化區。來自 I. El-Said [Sai76]。

在大多數設計中，El-Said[sai 93]將正方形視為明確的外部邊界(由圓和圓以外的相關網格擴展組成的邊界)。在這種情況下，W.K. Chorbachi[CHO 89]曾說過，在所有的設計中并不總是能找到正方形。在他的書《巴別塔:超越伊斯蘭設計中的對稱性》的節選中，他寫道:“……最后，在一些設計案例中，不可能掩蓋分析方法不成立的事實。這些圖(圖4.3)顯示為包含一個基于變化的非標準區域。細長的矩形區域顯然屬于“單向”的2重對稱概括，其在4重對稱組的正方形中被壓倒性地表示。在插圖中(見圖10 ), W.K. Chorbachi認為矩形是設計的外部邊界，并證明正方形不可能總是被標記為外部邊界。然而，他也認為外部邊界在設計中是不可或缺的。但是，正如上面已經證明的那樣(見圖7和圖8 ),外部邊界對于星形/玫瑰形設計來說是虛幻的，并且它的存在不能總是被確認，直到并且除非外部網格的存在可以被追蹤。

6. 結論

我們可以得出這樣的結論：群理論是對排列進行分類，而不是對單元圖案進行分類。本文提出了一個可行的定理，使我們能夠根據網格屬性對任何星形/輪廓圖進行分類。它還為星形/輪廓圖生成了一個分類名稱，為讀者提供了有關最小網格數（MNG）和最小幾何形狀（LSG）的信息，這些信息用于實現伊斯蘭幾何圖案的設計。根據我們的經驗，伊斯蘭幾何圖形的分類結果是相對的。在這種情況下，命名方法將根據新研究的結果而改變。

參考文獻

[Joy97] Joyce, D. E., The 17 plane symmetry groups Department of Mathematics and computer science,

Clark university, Worcester, MA 01610.

[Sai76] El-Said, I., and Parman, A. Geometrical Concepts in Islamic Art: World of Islam Festival. Publ. Co. London, 1976.

[Gru92] Grunbaum B., and Shephard G.C., Interlace Patterns in Islamic and Moorish art. Leonardo, 25:331-339, 1992.

[Dew93] Dewdney A.K.. The Tinkertoy Computer and Other Machinations, pages 222-230. W.H. freeman,1993.

[Lee95] Lee A.J., Islamic Star Patterns. Muqarnas, 4:182- 197, 1995.

[Abb95] Abbas, S.J. and Salman, A. Symmetries of Islamic Geometrical Patterns, World Scientific, 1995.

[Abb92] Abbas, S.J. and Salman, A. Geometric and Group Theoretic Methods for Computer Graphic Studies of Islamic Symmetric Patterns. School of Mathematics, University College of North Wales, Bangor, Gwynedd, LL57 1UT, UK. Computer Graphics Forum, Volume 11, number 43-53, 1992.

[Gla99] Glassner A. Andrew Glassner’s Notebook: Recreational Computer Graphics. Morgan Kaufmann Publishers, San Francisco, CA. 1999.

[Lee98] Lee, X., The 17 Wallpaper Groups. http://www.xahlee.org/Wallpaper_dir/c5_17WallpaperGroups.html

[Sai93] El-Said, I. Islamic Art and Architecture: The System of Geometric Design. Grant Publishing Limited, U. K. 1993.

[Cho89] Chorbachi, W.K. In the Tower of Babel: Beyond Symmetry in Islamic Designs. Math Applic. Vol. 17, No. 751-789, 1989.

[Han36] Hankin, E.H., Some Difficult Saracenic Designs Pattern Containing Fifteen Rayed Stars. The Mathematical Gazette, Vol. 18, 165-168, 1934, and 20, 318-319, 1936.

[Ahm99] Ahmad M. Aljamali and Ebad Banissi, Grid Method Classification of Islamic Geometric Patterns

青山不改，綠水長流，在下告退。

轉發隨意，轉載請聯系張大少本尊。

除摩天樓風載晃動的減震擺

劉延柱 科學網博客 2021-4-1

晨霧 / 轉帖

【晨霧按語】據媒體報道今天（2021年5月18日）中午時分，深圳賽格大廈出現晃動，現場有人員從大廈撤離。記者當日14時10分許從深圳消防獲悉，已接警并出警，具體狀況需進一步調查。

在此轉載一篇關于摩天大樓減震擺的科普文章。感謝文章原作者。

--------------------

赴臺旅游過的游客大都去過臺北的 101 大樓（圖 1），參觀過大樓里懸掛的巨大的減震擺（圖 2）。這個直徑 5.5 米，重達 660 噸的巨大鋼球由 4 根粗鋼索懸掛在 88 層與 92 層之間，形成一個大單擺。

圖1 臺北101 大樓

圖2 101 大樓的減震擺

2016 年完工的上海中心大廈高度 632 米，遠遠超過高度 448 米的 101 大樓（圖 3）。是已建成的全國第一，世界第二高樓，上海的地標性建筑之一。上海中心的頂部 126 層也懸掛著一個 1000 噸的重量更大的減震擺。這個巨大的減震轉置全名是 “ 擺式電渦流調諧質量阻尼器 ” (Pendulum Eddy-current Tuned Mass Damper) [1]。值得一提的是減震擺質量塊上方裝飾的藝術品（圖 4）。這個從《山海經》中 “燭龍之眼” 獲得靈感的雕塑作品與 “龍塔” 式的大廈造型相輝映。上方有一圓洞直指蒼穹，在透過玻璃的陽光投射下更增添神秘色彩，被昵稱為上海中心大廈的 “慧眼” 。

圖 3 上海中心大廈

圖 4 上海中心大廈的減震擺

樓層太高的摩天樓很容易受到風力的影響產生搖晃，這種晃動屬于自激振動。在博文 “瑞利方程和范德波爾方程描述的自激振動” 里，對于輸電線、懸索橋、高層建筑等細長物體因風載導致的自激振動有過詳細說明。類似的這種現象早在 19 世紀就已引起注意。1878 年捷克物理學家斯特勞哈爾（Strouhal,V.）發現，當微風吹過豎琴的細弦時會使豎琴發出聲音，因此對氣流通過圓截面柱時產生的振動做了系統的實驗研究。結論是振動頻率與流速成正比，與圓截面柱的直徑成反比。1912 年美籍匈牙利力學家馮?卡門（Von Kármán,T.）（圖 5）從理論上證明，當流體繞過非流線形障礙物時，會在物體后方兩側產生反對稱等距離排列的，旋轉方向相反的成對渦旋，稱為卡門渦街 (Kármán Vortex Street)（圖 6）。出現渦街的尾流對物體產生周期變化的作用力，頻率與流速和物體直徑的關系與斯特勞哈爾的實驗結果符合一致。如激勵頻率與物體固有頻率接近，可導致激烈的共振。從而解釋了風載引起自激振動的產生原因。

圖 5　馮?卡門（Von Kármán,T. 1881-1963）

圖 6　卡門渦街

摩天樓在風載下的自激振動若不加控制，頂端擺動的加速度可高達 6 cm/sec2 以上而超過允許范圍。為減小風載引起的搖晃效應，必須采取各種阻尼方法。上海中心大廈的外形十分獨特，是由曲面卷繞形成，每層扭轉10 的扭曲幾何體。理論研究表明，這種稱為“龍塔”式的外形可延緩和削弱卡門渦街的形成。擺式阻尼器將陣風對大樓的激勵轉移至減震擺，其擺動的動能被電渦流阻尼器耗散，從而實現有效的振動抑制。2019 年 8 月 10 日上海受強臺風 “利奇” 的襲擊，風速高達每秒 40 米，上海中心大廈的減震擺的振幅高達 50cm，而大廈安然無恙。

擺式阻尼器也稱為動力吸振器。其抑制振動的基本原理基于線性系統的受迫振動規律[2]。設質量為 mi (i=1,2) 的兩個物體，用兩個剛度為 Ki (i=1,2) 的彈簧串聯成二自由度振動系統（圖 7）。其中的物體 m1 受到頻率為 ω 的簡諧力 F0sinωt 的激勵，列出此系統的受迫振動方程：

圖 7　二自由度振動系統

此方程組有以下特解，確定系統的受迫振動規律：

其中函數 Δ(ω2)為

若作用于物體 m1 的激勵力頻率 ω 恰好等于物體 m2 的固有頻率 ω20=(K2/m2)1/2，則 x1(t) 的振幅等于零，表明物體 m1 的振動被完全抑制，激勵力的全部能量被轉移到物體 m2 。此即動力吸振器的理論依據。考慮阻尼因素影響的理論分析在附錄中給出。

摩天樓中懸掛的大單擺就是一具超大型的動力吸振器。吹向大樓的陣風可能有多種頻率成分，其中以接近大樓基頻的陣風最危險，如不加控制就會使大樓產生強烈晃動。將大單擺的固有頻率設計成與大樓的基頻相等，則陣風的能量就被轉換為單擺擺動的動能。電渦流阻尼器將此動能耗散為熱量，大樓的晃動就被大大降低。

動力吸振器的原理是 1928 年由美國的奧蒙德羅伊德 (Ormondroyd,J.) 和鄧哈托 (Den Hartog,J.P.) 提出的。要達到消除振動的目的又不消耗能源，動力吸振器是一種理想的消振方案。在實際應用方面，鄧哈托在他的機械振動著作里曾舉出理發電推子的有趣例子[3] （圖10）。另一個重要的應用是在內燃機的曲柄軸上安裝一個可繞旋轉軸轉動的彈簧振子，它的固有頻率被調整得與旋轉軸的臨界轉速相等時，可消除旋轉軸的扭轉振動（圖11）。

圖 10　帶吸振器的理發推子

圖 11　旋轉軸上的動力吸振器

基于動力吸振器原理的減震擺以其消除晃動的有效性，被許多著名的超高層建筑采用。在上海中心大廈之前的 2008 年，另一座超高層建筑上海環球金融中心就已安裝了兩臺重 150 噸的減震擺。

參考文獻：

[1] 程穆，汪立軍. 阻尼器在上海中心大廈的應用. 上海建設科技，2014, (3): 26-29

[2] 劉延柱，陳立群，陳文良. 振動力學(第二版). 北京, 高等教育出版社，2011: 139~141

[3] 鄧哈托. 機械振動學. 北京：科學出版社. 1965 : 95~102

(改寫自：劉延柱. 趣味振動力學，8.5 節. 北京： 高等教育出版社，2012)

附錄：帶阻尼的二自由度系統動力消振器

轉載本文請聯系原作者獲取授權，同時請注明本文來自劉延柱科學網博客。

信息來源：2021-05-14 劉延柱科學網博客

http://blog.sciencenet.cn/blog-3452605-1279666.html

【聲明】本文為轉發分享，已經注明來源。不代表本平臺贊成或反對原作者的觀點，文責和版權屬于原作者。轉載此文是出于傳遞更多信息之目的，如有侵權請聯系刪除。