文: https://betterexplained.com
譯文: http://jakwings.is-programmer.com/posts/29546.html
虛數這個概念經常讓我感到困惑。就像是理解 e 一樣,許多解釋基本上都可以歸為這兩類:
專家們,這真是一種激勵孩子們積極好學的方法啊!今天就讓我們用我么最喜歡的工具來攻克它吧:
還有我們的秘密武器:通過類比來進行學習。我們通過對比它的先輩,負數,來進行學習。以下就是你的指南書:
看起來好像沒什么意義,但是先把它放一邊。到最后我們將先抓到它,然后再攻克它,而不是反之。
負數并不簡單。假設你是18世紀的一名歐洲數學家。你有3和4,你知道4-3=1。很簡單。
但是3-4呢?這,到底,意味著什么呢?你怎么能從3頭奶牛中拿走4頭?你怎們能擁有比空無一物更少的東西呢?
負數被認為是荒謬的,甚至被認為“導致整個數學都黯淡無光”(Francis Maseres,1759年)。但是在今天,認為負數符合邏輯或者是有用的并不荒謬。試著問問你的老師負數是否毀壞了數學的根基。
到底發生了什么呢?我們引入了一種有著一些有用性質的理論數字。我們摸不到,也抓不住負數,但是它很好的描述了一些確定的關系(比如債務)。這是一個很有用的虛構。
相比說“我欠你30元”,然后看看文字確認到底是你欠我還是我欠你,我可以直接寫下“-30”,這樣我就知道是我欠你了。如果我賺到了錢,還請了債務(-30+100=70),我可以很容易的記錄這筆交易。我還剩下70元,這意味著我已經沒有負債了。
正負標記可以自動的幫我們記錄方向——你不要一一判斷每筆交易。數學可以讓這更簡單,更優雅。負數是“有形還是無形”其實無所謂——它們有著一些有用的性質,直到它們真正進入我們的生活我們才把它們發揮的淋漓盡致。如果你沒有“得到”負數的話,你就會背上惡名(obscene name,應該是指美國的信用卡消費文化——譯者注)。
但是我們不應自以為是:負數是一次智力的大飛躍。即使是歐拉,那位發現了e以及其他東西的天才數學家,也不像我們今天這樣了解負數。負數被認為是“沒有意義”的結果(最后他也隨大流接受了這樣的結果)。
這只是一個簡單的證明,告訴我們今天的孩子們的智力應該可以更容易接受這些觀點,即使這些觀點曾經讓很多數學前輩們很是困惑。
虛數也有一個類似的故事。我們可以很輕易的解出以下方程:
x2=9
答案是3和-3。但是加入有一個聰明人加入了一個小小的負號呢:
x2=-9
哦。許多人第一次見到這個方程就退縮了。你想把一個比零還小的數字開平方,這是荒謬絕倫的。
這看起來很瘋狂,就像負數,0,還有無理數(非重復數字)首次被引入時一樣瘋狂。這個方程并沒有什么“實在”意義,對吧?
錯了。所謂的“虛數”就像其他數字一樣正常(即使它們也是被造出來的):它們是描述世界的一種工具。就像假設-1,0.3,0“真實存在”一樣,讓我們也假設一些i存在吧:
i2=-1
這就是,你把i自乘兩次就得到-1.接下來會發生什么呢?
首先我們會頭疼。讓我們玩個“假裝i存在”的游戲吧,這樣可以讓數學更簡單,更優雅。這樣其中的關系就可以很容易的浮現出來了。
你或許不相信i的存在,就像那些老前輩們不相信-1的存在一樣。現在是一個新的讓我們難以理解的概念,現在還看不出有什么意義,即使是歐拉也沒有。但是正如負數告訴我們的,怪異的概念一樣可以有用。
我不喜歡“想象出來的數”這種稱呼——這是一種設計好的侮辱,誹謗,故意傷害i的感情。i就像其他數字一樣正常,但是“虛數”這個名字既然一直沿用下來了,我們只好繼續使用。
方程式 x2=9也可以表示成:
1·x2=9
x應該是什么,使得它自乘兩次后,1變成了9?
兩個答案就是“x=3”與“x=-3”:這就是,你“乘以3”或者“乘以3,然后翻轉”(翻轉或取反是乘以負數的另一種解釋)。
接下來讓我們考慮以下 x2=-1,這其實就是:
1·x2=-1
x應該是什么,可以使它自乘兩次后,1變為-1?
但如果是…… 旋轉呢!這聽起來很瘋狂,但是如果我們假設x被“轉過了90度”,然后乘以x兩次那就是旋轉180度,也就是把1翻轉成了-1!
耶!讓我們繼續深入考慮下去,我們可以把它繞其他方向旋轉(比如說順時針方向)來從1變為-1.這就是“負向”旋轉或者是稱作乘以-i:
如果我們乘以-i兩次,我們把1變成-i,然后-i變成-1,所以-1確實存在兩個根:i與-i。
這個很酷。我們有一些答案,但是這說明了什么呢?
數字是二維的。是的,這樣可能有些難以理解,這就像讓古羅馬人理解十進制與長除法一樣(你說1和2之間還有數字是什么意思?)。
我們會問“怎樣通過兩步,把1變成-1”,然后我們就找到了答案:把它旋轉90度。這確實是一個奇怪但是又讓我們耳目一新的方法來理解數學。而且它很有用。(順便提一下,這種用幾何的方法解釋復數的方法直到i被發現幾十年后才被引入)
此外,逆時針為正是人們的一個約定俗成習慣——其他表示也是可以的。(未完待續)
國領土面積到底有多大,一直是個未解之謎,因為教科書上寫的一直都是約960萬(不含領海)平方公里,很顯然,地球是圓的,一個國家的面積不可能這么整齊到以10萬平方公里為單位。那么真實數據到底是多少呢?網絡上從950多萬到970多萬各種說法都有,讓我們來看看官方數據——來自國務院中國政府網和各省市自治區的官方數據和原文描述。
1.總數據:中國位于亞洲東部,太平洋西岸。陸地總面積約960萬平方千米,海域總面積約473萬平方千米。
來源:http://www.gov.cn/guoqing/index.htm 中央人民政府官網。
顯然,這個數據的精準度是不夠的,所以讓我們看下面的數據。
2.各省市區數據,讓我們從大到小排列
2.1五個自治區:166.49+120.28+118.30+23.67+6.64=435.47萬平方公里
2.1.1新疆維吾爾自治區:簡稱“新”,地處中國西北,位于亞歐大陸腹地,面積166.49萬平方公里,約占全國陸地總面積的六分之一。
來源:http://www.xinjiang.gov.cn/xinjiang/dmxj/dmxj.shtml 新疆維吾爾自治區政府官網
2.1.2西藏自治區:簡稱藏。位于中國的西南邊陲,青藏高原的西南部。面積120.28萬平方公里,約占中國總面積的八分之一,僅次于新疆維吾爾自治區。
來源:http://www.xizang.gov.cn/rsxz/qqjj/zrdl/201812/t20181221_34484.html 西藏自治區政府官網。
2.1.3內蒙古自治區:內蒙古位于祖國北部邊疆,由東北向西南斜伸,呈狹長形,東西長約2400公里,南北最大跨度1700多公里。總面積118.3萬平方公里。
來源:https://www.nmg.gov.cn/asnmg/yxnmg/qqgk/202003/t20200304_235646.html 內蒙古自治區政府官網。
2.1.4廣西壯族自治區:地處祖國南疆,位于東經104°28′~112°04′,北緯20°54′~26°23′之間,北回歸線橫貫中部。行政區域土地面積23.76萬平方千米,管轄北部灣海域面積約4萬平方千米。
來源:http://www.gxzf.gov.cn/mlgxi/gxrw/zrdl/t1003585.shtml 廣西壯族自治區政府官網
2.1.5寧夏回族自治區:寧夏是祖國西部的一塊寶地,地處黃河上游,面積6.64萬平方公里,人口725萬,轄五個地級市22個縣(市、區)。
來源:https://www.nx.gov.cn/ssjn/nxgk/202112/t20211231_3268370.html 寧夏回族自治區政府官網。
2.2四個直轄市:8.24+1.641+1.196645+0.63405=11.711695萬平方公里
2.2.1重慶市:重慶位于中國內陸西南部、長江上游地區。面積8.24萬平方公里,轄38個區縣(26區、8縣、4自治縣)。
來源:http://www.cq.gov.cn/zjcq/ 重慶市政府官網
2.2.2北京市:北京市行政轄區總面積為16410平方公里。
來源:http://www.beijing.gov.cn/renwen/bjgk/#dlyzr 北京市政府官網。
2.2.3天津市:天津市位于北緯 38 °34′~ 40°15′,東經 116°43′~118°4′之間,處于國際時區的東八區。土地總面積11966.45平方公里,疆域周長1291.149公里,其中海岸線長153.669公里,陸界長1137.48公里。
來源:https://www.tj.gov.cn/sq/tjgk/zrdl/dlwz/ 天津市政府官網。
2.2.4上海市:2021 年末,上海行政區劃面積 6340.5 平方千米。
來源:https://www.shanghai.gov.cn/shanghai/newshanghai/%E4%B8%8A%E6%B5%B7%E6%A6%82%E8%A7%88.pdf 上海市政府官網。
2.3內地22個省:72.23+48.6+47.3+42.59+39.41+21.18+20.56243+18.88+18.74+18.59+17.97+17.6167+16.7+16.69+15.67+15.58+14.8+14.01+12.4+10.72+10.55+3.54=514.34913萬平方公里。
2.3.1青海省:地理位置介于東經89°35′——103°04′,北緯31°36′——39°19′之間,全省東西長1200多公里,南北寬800多公里,總面積72.23萬平方公里,占全國總面積的十三分之一,面積排在新疆、西藏、內蒙古之后,列全國各省、市、自治區的第四位。
來源:http://www.qinghai.gov.cn/dmqh/system/2016/11/08/010239493.shtml 青海省政府官網。
2.3.2四川省:四川簡稱川或蜀,位于中國西南部,地處長江上游,素有“天府之國”的美譽。全省面積48.6萬平方公里。
來源:https://www.sc.gov.cn/10462/10778/10876/2022/3/8/3fb2c20b47e14ede9b62e28a6c1f8f4d.shtml 四川省政府官網。
2.3.3黑龍江省:簡稱黑。省會哈爾濱。位于中國東北部,是中國位置最北、緯度最高的省份,西起121°11′,東至135°05′,南起43°26′,北至53°33′,東西跨14個經度,南北跨10個緯度。全省土地總面積47.3萬平方千米(含加格達奇和松嶺區),居全國第6位,邊境線長2981.26千米。
來源:https://www.hlj.gov.cn/n200/2020/0513/c34-11002919.html 黑龍江省政府官網。
2.3.4甘肅省:甘肅,古屬雍州,地處黃河上游,它東接陜西,南控巴蜀青海,西倚新疆,北扼內蒙、寧夏,是古絲綢之路的鎖匙之地和黃金路段。它像一塊瑰麗的寶玉,鑲嵌在中國中部的黃土高原、青藏高原和內蒙古高原上,東西蜿蜒1600多公里,全省土地總面積42.59萬平方公里(其中寧夏回族自治區飛地53.22平方公里)。
來源:http://www.gansu.gov.cn/gsszf/c100269/rwly.shtml 甘肅省政府官網
2.3.5云南省:簡稱“云”或“滇”,地處中國西南邊陲,位于東經97°31'~106°11'和北緯21°8'~29°15'之間,北回歸線橫貫南部。總面積39.41萬平方千米,占全國總面積的4.1%。
來源:http://www.yn.gov.cn/yngk/ 云南省政府官網。
2.3.6湖南省:地處東經108°47′~114°15′、北緯24°38′~30°08′,東西直線距離最寬667公里,南北直線距離最長774公里,總面積21.18萬平方公里,占全國國土面積的2.2%,居全國各省區市第10位、中部第1位。
來源:https://www.hunan.gov.cn/hnszf/jxxx/jxxx.html 湖南省政府官網。
2.3.7陜西省簡稱“陜”“秦”,地處中國中部黃河中游地區,南部兼跨長江支流漢江流域和嘉陵江上游的秦巴山地區。其境東隔黃河與山西省相望,北與內蒙古自治區毗連,西與寧夏回族自治區和甘肅省相鄰,南以米倉山、大巴山主脊與四川省、重慶市為界,東南與湖北省、河南省接壤。陜西省行政區劃面積205624.3平方千米。
來源:http://www.shaanxi.gov.cn/sq/sxgk/dmqh/202011/t20201120_2046831.html 陜西省政府官網。
2.3.8河北省:位于東經113°27'至119°50',北緯36°05'至42°40'之間,地處華北,漳河以北,東臨渤海、內環京津,西為太行山地,北為燕山山地,燕山以北為張北高原,其余為河北平原,面積為18.88萬平方千米。
來源:http://www.hebei.gov.cn/hebei/14462058/14462085/index.html 河北省政府官網。
2.3.9吉林省:簡稱“吉”,位于中國東北地區中部,幅員面積18.74萬平方公里
來源:https://baike.baidu.com/reference/5690/fa51vO-mrhrh37UF9nH1vmoPVPEm402-8XZ1wF5g5WhE2gwD1vBnMSeRkCscwfH2ShRJGiY 百科引用吉林省政府官網
2.3.10湖北省:位于中華人民共和國的中部,簡稱鄂。地跨北緯29°01′53″~33°6′47″、東經108°21′42″~116°07′50″。東鄰安徽,南界江西、湖南,西連重慶,西北與陜西接壤,北與河南毗鄰。東西長約740千米,南北寬約470千米。全省總面積18.59萬平方千米,占全國土地總面積的1.94%。
來源:http://www.hubei.gov.cn/jmct/hbgk/202203/t20220325_4055879.shtml 湖北省政府官網。
2.3.11廣東省:面積17.97萬平方公里。廣東海域遼闊,灘涂廣布,陸架寬廣,港灣優良,島礁眾多,海洋生物、礦產和能源資源豐富。海域面積42萬平方千米,是陸地國土面積的2.3倍。
來源:陸地面積http://www.gd.gov.cn/attachment/0/499/499604/3756487.pdf
海洋面積http://www.gd.gov.cn/zjgd/sqgk/wzzc/index.html
均來自廣東省政府官網
2.3.12貴州省:簡稱“黔”或“貴”,位于中國西南的東南部,介于東經103°36'-109°35'、北緯24°37'-29°13'之間,東毗湖南、南鄰廣西、西連云南、北接四川和重慶,是一個山川秀麗、氣候宜人、民族眾多、資源富集、發展潛力巨大的省份。全省東西長約595千米,南北相距約509千米,總面積為176167平方千米,占全國國土面積的1.8%。
來源:https://www.guizhou.gov.cn/dcgz/gzgk/dl/202109/t20210914_70397096.html 貴州省政府官網。
2.3.13河南省:界于北緯31°23’—36°22’和東經110°21’—116°39’之間,東接安徽、山東,北界河北、山西,西連陜西,南臨湖北,呈望北向南、承東啟西之勢。全省總面積16.7萬平方公里,占全國總面積的1.73%。
來源:https://www.henan.gov.cn/2018/05-31/2408.html 河南省政府官網。
2.3.14江西省:簡稱“贛”,因公元733年唐玄宗設江南西道而得省名,又因為江西最大河流為贛江而得簡稱,是中國內陸省份之一。江西位于中國東南部,在長江中下游南岸。全省面積16.69萬平方公里。
來源:http://www.jiangxi.gov.cn/col/col471/index.html 江西省政府官網。
2.3.15山西省:山西省地處黃河流域中部,東有巍巍太行山作天然屏障,與河北省為鄰;西、南部以黃河為塹,與陜西省、河南省相望;北跨綿綿長城,與內蒙古自治區毗連。因地屬太行山以西,故名山西。春秋戰國時期屬晉國地,故簡稱“晉”;戰國初期,韓、趙、魏三分晉國,因而又稱“三晉”。全省總面積15.67萬平方公里。
來源:http://www.shanxi.gov.cn/zjsx/zlssx/sqgk/202007/t20200724_6045048.shtml 山西省政府官網。
2.3.16山東省:位于中國東部沿海、黃河下游,陸域位于東經114°48′~122°42′、北緯34°23′~38°17′,東西長721.03公里,南北長437.28公里。全省陸域面積15.58萬平方公里, 海洋面積15.96萬平方公里。
來源:http://www.shandong.gov.cn/col/col94094/index.html 山東省政府官網.
2.3.17遼寧省:位于我國東北地區南部,全省國土面積14.8萬平方公里,大陸海岸線長2292公里,近海水域面積6.8萬平方公里。
來源:http://www.ln.gov.cn/zjln/lngk/ 遼寧省政府官網。
2.3.18安徽省:它位于中國中東部,是最具活力的長江三角洲組成部分。全省南北長約570公里,東西寬約450公里。總面積14.01萬平方公里,約占中國國土面積的1.45%。
來源:https://www.ah.gov.cn/hfwy/index.html 安徽省政府官網
2.3.19福建省:全省陸地面積12.4萬平方公里,海域面積13.6萬平方公里。
來源:http://www.fujian.gov.cn/zjfj/ 福建省政府官網。
2.3.20江蘇省:江蘇省土地面積10.72萬平方公里,占全國1.12%。
來源:http://www.jiangsu.gov.cn/col/col31361/index.html 江蘇省政府官網。
2.3.21浙江省:浙江東西和南北的直線距離均為450公里左右,陸域面積10.55萬平方公里,是中國面積較小的省份之一。
來源:https://www.zj.gov.cn/art/2022/3/10/art_1229398249_59680307.html 浙江省政府官網。
2.3.22海南省:位于中國最南端。北以瓊州海峽與廣東省劃界,西隔北部灣與越南相對,東面和南面在南海中與菲律賓、文萊、印度尼西亞和馬來西亞為鄰。海南省的行政區域包括海南島、西沙群島、中沙群島、南沙群島的島礁及其海域,是全國面積最大的省。全省陸地(主要包括海南島和西沙、中沙、南沙群島)總面積3.54 萬平方公里,海域面積約200萬平方公里。
來源:https://www.hainan.gov.cn/hainan/shengq/sq.shtml 海南省政府官網。
2.4港澳臺地區:3.6+0.1102+0.0033=3.7133萬平方公里
2.4.1臺灣:中國臺灣地區,是指臺灣當局控制下的臺灣省(包括臺灣本島與蘭嶼、綠島、釣魚島等附屬島嶼及澎湖列島),以及福建省的金門、馬祖、烏丘等島嶼,陸地總面積3.6萬平方公里。
來源:http://www.gov.cn/guoqing/2020-07/28/content_5530577.htm 中國中央政府官網
2.4.2香港特別行政區:1102平方公里 。
來源:https://www.yearbook.gov.hk/2002/shtml/cfacts-area.htm 香港政府官網。
2.4.3澳門特別行政區:33平方公里。
來源:https://www.gcs.gov.mo/geography/zh-hant;jsessionid=CDEA68B8A09C1EFE8E601BD988F10746.app08 澳門政府官網。
以上匯總:5個自治區435.47+4個直轄市11.711695+內地22個省514.34913+港澳臺3.7133=965.244125萬平方公里。
另外,大家都很關心的海洋面積,也有一部分省份公布了:
廣西4萬,廣東42萬,海南約200萬,福建13.6萬,遼寧6.8萬,山東15.96萬。
臺灣、上海、江蘇、浙江、天津、河北、香港、澳門沒有收集到數據。
CSS屬性值函數(CSS value functions),是調用特殊數據處理或計算后返回CSS數值,應用于CSS屬性。CSS屬性值函數代表了更復雜的數據類型,其可能需要一些輸入參數來計算返回值。
selector {
property: function([argument]? [, argument]!);
}
其格式為:函數名后跟隨英文括號“()”,參數放在括號中,多個參數以英文逗號“,”隔開。
CSS屬性值函數可以通過接收一個或多個參數,通過瀏覽器渲染引擎的特定計算,動態得出屬性的數值,從而制作出具有更高適應性的web界面。
分類 | 子類 | 函數及說明 |
變形函數 | 轉換函數 |
|
旋轉函數 |
| |
縮放函數 |
| |
傾斜函數 |
| |
矩陣函數 |
| |
透視函數 |
| |
數學函數 | 基本運算 |
|
比較函數 |
| |
階躍值函數(實驗性) |
| |
三角函數 |
| |
指數函數 |
| |
符號函數(實驗性) |
| |
過濾器函數 | - |
|
顏色值函數 | - |
|
圖像函數 | 漸變函數 |
|
圖像函數 |
| |
計數器函數 | - |
|
形狀函數 | - |
|
引用函數 | - |
|
網格函數 | - |
|
字體函數 | - |
|
緩動函數 | - |
|
動畫函數 | - |
|
以上為CSS屬性值函數列表,每個函數的具體用法和示例,將在今后的文章中介紹。
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CSS屬性值函數(2)calc()數值計算
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