獻祭了校花，獲得幻姬召喚卷軸。

同學，你往哪里對準了再好好嗎？

在他身后的小胖子稍稍有些顫抖。

對不起，老師，我這是第一次。

老師無語的點了點頭，這種事情他跟很多同學都做過，但別人一次就對準了眼前。

這個胖子是他帶過最本的，我再說一遍你把手指插入這個洞里就行。其他的事情不需要你，因因為緊張的原因胖子的手抖得厲害。好不容易才對準機器上的動身了，禁區驗證成功，羅昕男性可進行覺醒儀式。這是覺醒儀式之中的一個環節。在這個世界妖獸肆虐，而人類能夠通過覺醒異能與抗抗穿越這個世界的我正在排隊等待覺醒。

不久后胖子從正法之中走出一集覺醒天賦：弓箭手。一旁的老師有些不可思議的開口，這個統不準的胖子竟然覺醒了弓箭手的天賦，而且級別還達到了一道欠揍的笑聲。從覺醒陣法之中發出，然后就看到一道胖子的身影從其中走出。

老子是弓箭手戰斗戲，還是以后看你們誰還敢瞧不起我。

之前怎么沒有發現他這么眼淚，我們學校居然還有這樣的帥哥，知道我就先下手了。有不少女生悄悄議論起來，這個世界覺醒天賦從戲法反而一共劃分九個等級。胖子的天賦等級是實力，等級便是六級，之后便只能依靠自身的修煉提升實力。這讓原本平平無奇的胖子時已經成了香饃饃，很快就輪到我覺醒天賦。

不料當我站在覺醒法之中時，突然一道清晰的聲音浮現在腦海之中，兵系統加大完成。而此時覺醒法陣之外天空突然暗了下來，陽光在這個時候也被遮擋這突如其來的天下變化讓廣場之上出現稍許高酮。

突然有眼尖的同學發現天空之中有著什么東西在靠近，是是妖獸密密麻麻的長著蝙蝠翅膀的妖獸在天空之中盤旋快快跑啊！甚至是一部分年輕的老師看到這一幕都覺得頭皮發麻都不要慌，那不是妖獸，是一下一道洪亮的聲音傳入了所有學生黨生生止住了學生逃跑的家。

這便是這青州市第一高中的校長岳天樂，一名六十六級力量戲權法師，我此刻也被覺醒，陣法傳送的當天。

天空之中的意向我也有震驚，這一項跟我覺醒的時候所看到的意義是，而負責我覺醒的老師看到機器面板上的數據更是震驚，sss級天賦最強。

學校里到底覺醒了個什么樣的話？聽聽到這話的時候所有人都淡定，他們知道意向出現就是s幾天可從不敢想有人能覺醒一下薩斯天賦、裝修sss級天賦，暗黑細線技師可當負責覺醒的老師，完整我的資料整個操場都安靜了。

接著就是一陣無情的嘲笑，暗黑系獻祭師ss級，哈哈，哈哈哈哈哈也太浪費了吧。SS級天賦的獻祭師只有一個，他們的天賦能力是獻祭，可以將任何有用的東西獻祭給諸神，換取實力或其他寶物。然而，人所認為的寶貴之物，神未必喜歡。如果獻祭的物品得不到認可，不僅不能獲得保護，還會遭受懲罰。曾經有一個覺醒獻祭師職業的人，獻祭的物品沒有被認可，結果被所謂的神體走了一條腿，最終命喪黃泉。獻祭就像賭博一樣，人怎么可能完全掌握神明的心思？

面對所有人的嘲笑，我表面上毫不在意，但內心卻欣喜萬分。當我看向?；啡藭r，提示突然出現了，火系法師的戰斗力非常弱，但長相十分精致，而且還是完璧之身。如果將他獻祭給貪婪的惡龍法芙娜，一定會受到她的喜愛并獲得獎勵，這也意味著我可以清楚地了解哪些物品是神明所喜歡的。然而，我沒有想到這些技術不僅可以獻祭物品，甚至可以獻祭人類。因此，我立刻看向了六十多級的校長，但系統并沒有給出任何提示，看來不是每個人都可以獻祭給神明的。就在我準備離開時，校長叫住了我。

校長有什么事情嗎？跟我來一趟。葉天瑞沒有回答我的問題。來到沒人的地方后，校長向我介紹了獻祭師的歷史和利弊，然后問我第一次獻祭會選擇什么？

對于這個問題，我毫不猶豫地割下了岳天瑞脖子上的珠子。這一舉動讓葉天瑞愣住了，他問：“獻祭給誰？”“獻祭給生命女神之前，我已經用系統探查過月天瑞脖子上的那串珠子，每一枚珠子都是蘊含著龐大生命力的妖精。這些妖精都是植物類妖獸產生的，也賦予了它們強大的生命力。如果直接獻祭給生命女神，將會獲得生命女神的獎勵?！比~天瑞猶豫了一下，“看來你的眼光不錯。這上面所蘊含的生命之力，按道理獻祭給生命女神是一個不錯的選擇。只是這東西質量不高，也不一定能獲得獎勵?！?/p>

岳天瑞好歹也是六十多級的強者，對獻祭師的規則有一定的了解。“要不我試試？”我盯著岳天瑞脖子上的珠子，非常好奇這東西獻給生命女神會得到什么樣的獎勵。然而，岳天瑞拒絕了我的請求：“只要不是我這顆珠子，什么都可以給你。”“陷阱？”我有些驚訝，“你只能獻祭鎮上的那顆妖精？”

“月天瑞沒有想到，我竟然是覺醒妖精。這可不是普通的妖精。如果那顆妖精被取走，整個覺醒陣法會在一瞬間失去效果。”

“剛剛才拒絕了我，葉天瑞也是一咬牙走到覺醒陣前面，當著中學生的面取下來，若無其事地朝著我走了?！?/p>

“天瑞的動作讓所有人的目光都落在了我的身上?！?/p>

“那不是方休嗎？是啊，校長找他去了。剛剛校長拿走了什么東西，跟方修有關系嗎？”

“那個是覺醒妖精吧?！贝藭r，月天瑞已經走到了我的身旁，作為校長，我說話算話，非常感謝您的教導。我恭敬地接過覺醒妖精，雖然之前看起來像是陷阱，但現在已經被取下來了，而且還是校長您親自拿的，不知道生命女神會不會介意呢？于是，我再次請求系統檢測，發現低階的水系妖精落在對的人手中也有一定的價值存在。生命女神的手串上，剛好缺少一顆陷阱，對方會很開心，并給予獎勵。阿福，你快試試吧！就在我讓系統探測時，岳天瑞有些按捺不住了，雖然很心疼，但也想看看這個CSS極限計時的陷阱，我微微點頭。隨后，我雙手捧著那一枚覺醒精，閉上眼睛，低聲說道：偉大的生命女神！我將這一枚低階水系妖精，獻祭給低階躍天瑞。聽到這話，我有些無語，這可是一枚價值很高的覺醒妖精啊。只見那一枚覺醒妖精突然散發出一道光芒，緊接著妖精就消失不見了。不過光芒還在，不多時，一個長方形盒子出現在了我的手中。這是什么？我感覺這個長方形的盒子里面沉甸甸的，一樁樁的東西還挺重的。這個時候，葉天瑞也很好奇，我也沒有隱瞞，直接當著校長的面打開盒子，頓時一道綠色的光芒從那打開的盒子里面綻放出來。這光芒充滿了生命的氣息。當感受到這一陣生命氣息的時候，月天瑞的眼睛都亮了，或許將來這個ssS級的獻祭師，可以比以往的獻祭師走得更遠?？炜纯词鞘裁礀|西吧。月天瑞催促一聲，我點了點頭，朝著那盒子里面看去。一旁的岳天睿也很感興趣地等待著。

士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

托普卡普卷軸是研究伊斯蘭幾何裝飾的重要文獻來源。本文給出了一些典型設計的數學分析，集中在一個模塊結構，設計是由六個拼塊組裝而成。本文展示了這種多功能系統的應用，包括非標準設計元素的引入，基于彭羅斯菱形的非周期圖案，以及幾種同時在兩個尺度上具有互補圖案的兩級設計。

1.介紹

本文繼續分析托普卡普卷軸中的二維幾何設計[13]。在第一部分[5]中，我討論了通過反射復制模板的一般方法及其對圖案的結構和對稱性的影響，并分析了一些不尋常的星形圖案的構造。

在這里，我專注于一個幾何設計的模塊化系統，其中的圖案是由一組小而通用的拼塊組裝而成的，這些拼塊上裝飾著標準化的圖案。Hankin [6]、Makovicky [12]、Bonner [1]以及Lu和Steinhardt [11]都提到過使用這些拼塊中的一部分或全部來制作傳統的伊斯蘭圖案。在這篇文章中，我將重點放在托普卡普卷軸的面板上，它提供了證實這種方法的證據。這些設計由其他來源的例子補充，以說明引入非標準特征的方法的修改。特別是，我展示了由重復單元邊界上的拼塊的不規則裁剪引起的變化，或者通過一小塊拼塊內的圖案替換引起的變化。

托普卡普卷軸的七個設計同時在兩個尺度上呈現互補的圖案。其中一個已經在第一部分中討論過了，其他六個都是基于模塊化系統的。這兩層設計中的四層是基于拼塊的細分，這種方法將相似性轉換作為另一種形式的局部對稱引入到伊斯蘭圖案中。比較了Bonner [1]和Lu和Steinhardt [11]對伊斯法罕Darb-iImam雙層圖案的分析——后者被認為與卷軸中的例子更一致。

本文中對托普卡普卷軸編號面板的引用使用[13]中的編號。

2.一組裝飾拼塊

圖1顯示了一組六塊拼塊:

。角度為72度和108度的菱形

。正五邊形(角度為108度)

。角度為72°和144°的凸六邊形——線軸

。角度為108和144的凸六邊形——桶

。角度為72和216的非凸六邊形——蝴蝶結

。正十邊形(角度為144度)。

圖1 一些角是36的倍數的等邊拼塊。

表1 托普卡普卷軸的面板，其中拼塊是可見的或可用于解釋構造。

所有的拼塊都是等邊的，它們的內角都是36的倍數，它們都具有非平凡對稱性。每個拼塊都裝飾有一個圖案，通過在每個邊緣的中點放置兩條線，與邊緣成54°角，并將它們延伸到拼塊內部，直到它們與從其他邊緣生長的類似線相交。桶六邊形和十邊形有兩種裝飾形式。一個十邊形圖案是正星形多邊形{ 10/3 }；它的組成部分與領結上的風箏一致。另一個十邊形圖案更加復雜，對稱性從10次旋轉降低到5次旋轉。圖案可以保持簡單的線形，勾勒出的區域可以著色，或者線條可以加寬并交織成絲帶。這三種風格的例子都出現在圖中。

這些拼塊可以組裝成許多傳統的伊斯蘭圖案。線軸六邊形上的圖案類似于纏繞紗線的錠子或線軸。這種獨特的主題很容易在設計中找到，它的存在很好地表明了設計可以以這種方式構建。圖2顯示了幾個帶有小重復單元的例子，基于托普卡普卷軸中的面板。在每種情況下，卷軸中的面板對應于以灰色顯示的區域，并且是反映在矩形的邊上以生成圖案的模板。拼塊的邊緣包括在圖中，以顯示設計的基本結構，但在成品中，這些結構線將被刪除，只留下圖案。這隱藏了基本框架，有助于保護藝術家的方法。

圖2 小重復單元設計。(a) 62號面板，(b) 50號面板，(c) 53號面板。

Bourgoin收藏[2]的圖版173、175、176和178顯示了具有小重復單元的設計，這些小重復單元可以由拼塊產生(下面的拼塊未顯示)；板173顯示了圖2(a)中設計的較大部分。

Hankin [6]的圖37使用了與圖2(a)相同的拼塊排列，并具有兩種形式的十邊形圖案，而不僅僅是{10/3}星形。他的圖的左半部分顯示了設計和拼塊，右半部分只顯示了設計。Hankin的工作也提供了一個描述:“一個廣泛使用的基于十邊形結合紡錘形圖形的圖案類別的例子”[6，第20頁]。

Hankin的小冊子[6]包含其他例子，表明他知道整個模塊化系統。他的作品45-50展示了印度莫臥兒城Fatehpur Sikri圓頂建筑的四種圖案，他在每種圖案上都畫出了拼塊的邊界。他的一個圖，如圖3所示，包括了所有的六塊拼塊。這是一個在圓頂周圍重復的模板，左邊的頂點形成頂點。盡管模板的頂角是36角(所以10個復制品會圍繞平面上的一點)，但Hankin解釋說只有8個復制品被用來裝飾一個圓頂。角度不足迫使該結構成為圓錐形，這更容易轉移到圓頂的曲面上。

圖3 來自Hankin [6]。

托普卡普卷軸提供了歷史上使用拼塊制作圖案的證據。在面板28、50、52、53和62中，設計用黑色實線繪制，拼塊用紅色虛線勾勒。面板29、31、32、34和49中的設計也可以使用拼塊來創建，但是拼塊沒有在這些圖中示出(這些是同時在兩個比例上顯示圖案的復雜設計，將在后面討論)。表1總結了每個面板中存在的圖塊。在畫面53中，桶形拼塊被連接兩個頂點的等分線分成兩個梯形。在卷軸的所有例子中，圖案總是顯示十邊形1和桶2。

在許多可以被視為使用拼塊構造的設計中，圖案的線條與拼塊邊緣形成的角度是54。然而，正如伊斯蘭設計的許多方面一樣，也有變化。卷軸的面板58示出了用紅色虛線勾勒的拼塊，但是疊加了具有72入射角的設計。圖4顯示了來自開羅的另外兩個例子。(b)和(d)部分顯示了(a)和(c)照片中圖案的結構。兩種情況下拼塊的排列是一樣的:(d)是(b)的一半，由90旋轉。它們的入射角分別為72和36。(a)部分是阿茲哈爾清真寺的裝飾。細支柱形成通常作為最終設計留下的部分，但是這里它們由較粗支柱的網絡支撐，較粗支柱大部分沿著拼塊的邊緣。這種形式的屏幕提供了間接證據來支持“多邊形接觸”的建造方法[1，8]——有時這種關系比這種情況更明顯(參見Wade收藏中的照片IND 0820[15]作為一個很好的例子)。(c)部分是來自Barquq陵墓的一個雕刻的石墓。這種設計是欺騙性的：盡管它與可以用圖1的標準拼塊產生的設計共享許多區域形狀，但是它不能使用54入射角由它們制成。

圖4 開羅設計，(a)和(c)中的照片是大衛·韋德的收藏中的EGY 0923和EGY 1322的照片。

Bonner [1]稱基于36、54和72入射角的結構分別為鈍角、中間角和銳角。這并不提供設計的分類，因為入射角取決于拼塊的選擇，一個設計可能屬于多個類別。圖5顯示了一個例子，左邊是54(中間)結構，右邊是相同設計的36(鈍角)結構；中間部分顯示了底層鑲嵌的雙重性?？ㄆ仗m[8]對鑲嵌的這種雙重性進行了更廣泛的探索。

圖5 共同設計的雙層結構

3.具有非標準特征的設計

圖2中設計的重復單元包含很少的拼塊。伊斯蘭藝術家也創作出具有更大重復單元的設計，以及結構更少的藝術品，其中完全看不到平移對稱性，盡管通常很清楚這些作品如何能夠繼續產生周期性的圖案。即使在這種明顯不規則的拼塊排列中，眼睛也能在圖案的經濟性中找到統一性——相同的幾個形狀出現在不同的環境中。這與使用“多邊形接觸”方法產生的復雜星形圖案形成對比。在這種情況下，在設計中混合不同種類的星星通常是通過在定義星星的正多邊形之間構建不規則五邊形和六邊形的單元矩陣來實現的；完成的星形圖案包含許多不同形狀的區域，如果在尺寸和形狀上明顯缺乏一致性，就會顯得雜亂。

圖6示出了通過在其側面反射面板52的矩形模板而產生的設計。展示的作品包含模板的六個副本——三個橫放，兩個豎放。除五邊形之外的所有拼塊都出現在設計中。在此示例中，模板的邊界被拼塊的側面或拼塊的鏡像線覆蓋，這兩者都確保了連接處拼塊的連續性。在其他來源的設計中，拼塊并不以這種方式適合重復單元，而是懸于邊緣之上。對于這種生成設計的方法來說，這不是問題:懸垂的拼塊被簡單地切割以適合，反射照顧到了圖案的連續性。

圖6 托普卡普卷軸第52頁的設計。

圖7顯示了這種技術的一種變體。這是對開羅國家圖書館中一本有插圖的可蘭經設計的分析?；疑珔^域表示通過平移復制的六邊形重復單元。六邊形內拼塊的排列是圖8(e)所示普通結構的裁剪形式，蝴蝶結和線軸圍繞十邊形交替排列。線軸上的圖案在靠近模板邊界處被修改。這在最終設計中產生了不尋常的形狀區域，這有助于掩飾其構造方法。

圖7 從《可蘭經》構建一個設計。

圖8 插入其他星形和玫瑰形中心的替換。

在有大重復單元的設計中，有10倍對稱的拼塊塊有時被一個包含三層玫瑰圍繞{10/4}星的主題所取代。圖8顯示了這種替換的三個例子:上面兩個來自Bourgoin[2]的189和190板(圖9和10)，下面一個來自土耳其科尼亞的卡拉塔伊Madrasa的設計[4，圖10]。圖11顯示了玫瑰[9]的結構。切線圓控制幾何形狀。薔薇十字的兩條線在每一個切線處成36度角。大圓內的線形成一個規則的{10/4}星;恒星外面是三層細胞——六邊形花瓣、箭頭和風箏。這種形式的替代在設計中引入了一種新的元素，這種元素不能僅由拼塊產生，但在風格上是兼容的。它增加了多樣性，強調了設計的自然焦點。

圖9 Bourgoin[2]中189板塊的構建

圖10 Bourgoin[2]的190板塊的建造

圖11 10/4星上的一朵玫瑰

為了在圖10中找到一個重復單元，通過{10/4}星的中心畫水平線和垂直線。玫瑰被放置在這個矩形的角上，但是原始拼塊片的對稱性(圖8c)不包括垂直的鏡像線。這導致沿著重復單元的頂部和底部邊緣的拼塊的異常裁剪，其效果在圖底部的兩朵玫瑰之間清晰可見。

由拼塊構成的設計自然包含局部5重和10重對稱的中心。通過反射復制矩形模板將總是產生具有平移對稱性的設計。對于拼塊的當代應用，我們可以采用最著名的局部五重對稱中心圖案，并使用彭羅斯菱形來組織一個沒有平移對稱的設計。圖12(a)和(b)顯示了排列在兩個菱形上的拼塊，十邊形位于每個角的中心，蝶形沿每個邊對齊。由于這種設計中的拼塊非常小，因此應用棋盤區域陰影來產生裝飾。胖菱形中的短軸不是鏡像線并不重要——這個特征與彭羅斯鑲嵌中強制非周期的匹配規則是一致的。圖12(c)顯示了最終圖案的一部分。

Rigby和Wichmann[14]用一種不同的方法制作了五重伊斯蘭設計。他們沒有使用裝飾過的拼塊，而是將最終設計中可見的形狀拼接在一起。他們用這些形狀覆蓋了彭羅斯風箏和飛鏢，制作出了一種非周期性的設計。Castera [3]和卡普蘭[7,x3.10]也通過裝飾彭羅斯菱形產生了非周期性圖案，但在這兩種情況下，傳統的星星圖案重疊并被修改，以便它們可以融合在一起。

圖12 基于彭羅斯菱形的當代非周期星形圖案。

4.有兩種比例圖案的設計

多尺度設計的相互作用是一些大型伊斯蘭設計的特征。這些多尺度的設計通常出現在建筑物上，當觀眾靠近時，他們會經歷一系列的模式。從遠處看，具有高對比度的大比例形式占主導地位，但在近處，這些形式變得太大而無法感知，較小的形式取而代之。實現這種過渡的早期方法非常簡單，通常只是用花卉或植物卷軸逐漸填充背景中的空隙，使設計沒有空白空間。通過密度、雕刻深度、顏色和紋理的變化來表現尺寸和細節層次的差異。后來的設計更加雄心勃勃，在不止一個尺度上使用相同的風格。

圖1中的拼塊被用來分析伊朗伊斯法罕的Darb-iImam(伊瑪目圣殿)中一個著名的兩層設計(見Wade收藏中的IRA 0907圖[15])。Bonner [1]使用了四種拼塊:五邊形、桶形、十邊形，加上一個“薄”菱形，其角度為36和144。為了構建小比例設計，他首先鋪設拼塊，使其邊緣或鏡像線覆蓋大比例設計中的線條，然后填充剩余區域以完成密鋪。小比例的設計是利用36入射角由拼塊構成的(菱形沒有圖案)。Lu和Steinhardt[11]的分析使用了三種拼塊:蝶形、線軸和十邊形。他們從大規模設計下面的蝴蝶結和十邊形拼塊開始，然后將每個大拼塊細分為小拼塊。大比例和小比例設計都是使用54入射角從它們各自的拼塊構建的。

事實上，小比例密鋪的兩種選擇是對偶的，如圖13所示。大規模設計如圖5所示，因此它也與兩個雙重鑲嵌有關。Bonner選擇了五邊形、六邊形和十邊形作為大尺度設計的結構。這使得他可以宣稱大小比例的設計都是用一套普通的拼塊做成的鈍角構造。然而，這種選擇是任意的，因為他的方法沒有在大小拼塊之間建立任何自然的幾何聯系。他的方法還需要引入薄的菱形拼塊，這在托普卡卷軸中沒有出現。相比之下，盧和斯坦哈特的構造是基于一個廣泛使用的拼塊三位一體，他們的程序通過細分揭示了大小拼塊之間的關系。我們將在下面看到，卷軸中的一些兩層設計也可以用拼塊的細分來解釋。

圖13 Bonner [1]與Lu和Steinhardt [11]對兩級設計的分析比較。

托普卡普卷軸包含兩種兩級設計的例子，它們的區別在于小比例設計是構成前景還是背景裝飾。Bonner [1]分別稱這些為B型和A型。(他還發現了一種C型，這種C型依靠顏色來區分大小比例的圖案，但是這種圖案出現在西班牙和摩洛哥，并沒有出現在卷軸上。)

圖14示出了卷軸的面板49的細節結構。(注意，在[1，圖10]中重新繪制的面板49的副本不同于沿著框架的原始副本。)大比例設計是用寬線條繪制的一顆{10/4}星周圍的玫瑰的一部分。在圖的左邊，道路是用圖1中的拼塊鋪成的。道路的邊緣由拼塊的鏡像線組成，所有的拐角都位于十邊形的中心。在拼塊上使用交錯的圖案來創造小比例的設計會產生一種不協調的絲帶圖像，有許多松散的末端。一個更有效的模式是通過應用棋盤陰影產生的，如右圖所示。在第一部分[5]中討論的面板38是另一個兩級模式，前景是小比例模式(類型B)。

圖14 托普卡普卷軸的面板49的細節結構。

托普卡普卷軸的五個面板是兩級設計的模板，其中小比例圖案填充大比例圖案中的背景區域(類型A)。在面板28中，三幅圖疊加在同一個圖形上:一個小比例的設計用黑色實線繪制，其相應的密鋪用紅點勾勒(如前面所述的面板)；紅色實線中添加了一個大比例設計。在每個面板29、31、32和34中，沒有示出拼塊，但是紅色的大比例設計覆蓋在黑色的小比例設計上。

面板28和29的結構如圖15和16所示。在每種情況下，小比例設計用交錯的圖案描繪，大比例設計用粗灰線顯示；粗黑線定義了與大比例設計相關的密鋪。在兩個圖中繪制的模板具有雙重旋轉對稱，但是卷軸中的面板不是這種情況，其看起來是不完整的:包含來自面板28的右手端的大約20%和來自面板29的左手端的大約30%的卷軸部分缺失。也許原始卷軸的一部分被損壞并被移走了。在圖17和18中，模板通過側面的反射而被復制，以產生成品設計的足夠大的區域，用于欣賞大比例的設計。這些例子說明了表達大比例圖案的兩種不同方式:圖17中的區域陰影和圖18中的簡單線條。這兩種方法都被用于伊朗伊斯法罕建筑物上的雙尺度圖案——參見上文引用的Darb-i Imam圖像和[15]中的IRA 1116 (Madrasa Madar-i Shah)。在這兩種情況下，小比例的設計已經用區域的棋盤陰影進行了渲染。

圖15 托普卡普卷軸第28幅圖的分析

圖16 對托普卡普卷軸第29幅圖的分析

圖17 基于托普卡普卷軸面板28的雙層設計

圖18 基于托普卡普卷軸面板29的雙層設計

在圖15中，粗黑線標出了一個中心菱形，以左上角和右下角為中心的十邊形的四分之一，以及矩形頂部和底部邊緣的半菱形。這些拼塊與圖1中繪制的菱形和十邊形拼塊的大比例圖案有關。因此，相同的構造方法是小規模和大規模設計的基礎。還要注意的是，在這個例子中，疊加小比例和大比例鑲嵌創建了大拼塊的細分，其中大拼塊的每個邊由兩個小拼塊的邊和一個小十邊形的對角線組成。Bonner [1]引用面板28作為兩級設計的模塊化構造的證據，但隨后聲稱大規模設計具有鈍角構造。在圖15中，大比例設計有一個54入射角(中間)；在這種情況下，沒有由拼塊組成的雙重網格，即使使用Bonner的十個拼塊的擴展集。盧和Steinhardt [11]正確地確定了大規模設計的結構，并首先認識到細分屬性。

事實上，面板28、31、32和34都是以這種方式創建的，并且分析[4]揭示了在所有四個面板的構造中將大拼塊一致地細分為小拼塊。圖19顯示了菱形、桶形、筒形和十邊形的細分以及五邊形的部分細分。當大小拼塊都是這種比例時，不可能找到五邊形和蝶形拼塊的完整細分。這些細分在[4]中有更詳細的討論。

圖19 從托普卡普卷軸中的雙層圖案衍生出的細分，比例因子為3 +√5 = 5:236

圖20顯示了具有兩個互補模式的原始設計。這里，兩種圖案之間的比例差異小于托普卡普卷軸中的比例差異，因此在小比例設計中使用交錯是可行的。這個設計是通過在大規模設計中的每個交叉點上放置一個線軸來創建的，然后用蝴蝶結和十邊形完成小規模拼塊的剩余部分。底部中央顯示了大比例圖案中10點星的自然填充。在圖片的其余部分，使用圖8(e)和(f)的替換，這些拼塊片已經被替換為Konya {10/4}圖案。

圖20 有兩種互補圖案的原創設計

5.結束語

我們已經看到，托普卡普卷軸展示了用圖1中的拼塊創造傳統伊斯蘭幾何圖案的各種方法。從土耳其到埃及，再向東穿過伊朗到中亞，各種媒介中都可以找到實物例子。該系統的模塊化性質允許自由形式的組合物自發生長，導致有點混亂的設計，如圖3中的圓頂模板。拼塊通常排列成覆蓋一個矩形，然后作為模板重復。模板可能非常大——圖10的重復單元包含大約40個圖塊。當拼塊用于覆蓋除矩形以外的形狀時，圖案的復雜性可能會顯著增加。例子包括用寬線條繪制的大設計(圖14)，大設計中的背景區域，甚至是大版本的拼塊本身(圖19)。覆蓋彭羅斯菱形圖案賦予了現代感(圖12)。如此多才多藝的設計系統的創造肯定是伊斯蘭幾何藝術的最高成就之一。

參考文獻

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[12] E. Makovicky, 800-year old pentagonal tiling from Maragha, Iran, and the new varieties of aperiodic tiling it inspired, in Fivefold Symmetry, I. Hargittai, ed., World Scientific, Singapore, 1992, pp. 67–86.

[13] G. Necipog?lu, The Topkap| Scroll: Geometry and Ornament in Islamic Architecture, Getty Center Publication, Santa Monica, 1995.

[14] J. Rigby and B. Wichmann, Some patterns using specific tiles, Vis. Math. 8 (2006). Available at http://www.mi.sanu.ac.yu/vismath/wichmann/joint3.html

[15] D. Wade, Pattern in Islamic Art: The Wade PhotoArchive. Available at http://www.patterninislamicart. com/

[16] B. Wichmann and J. Rigby, A Penrosetype Islamic interlacing pattern, Vis. Math. 9 (2007). Available at http://www.mi.sanu.ac.yu/vismath/wichmann/penrose.html

[17] Peter R. Cromwell, Islamic geometric designs from the Topkap Scroll II: a modular design system

青山不改，綠水長流，在下告退。

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