序超均勻態

物質一般可分為有序態和無序態。有序態在空間上分布均勻齊整，比如晶體以及準晶（見圖1B）。而在無序態中，粒子的位置有很強的隨機性，造成了分布的疏密不均（見圖1A）。無序態涵蓋了氣態、液體、玻璃態等物態。2003年，美國普林斯頓大學化學系S. Torquato教授，提出了介于無序和有序之間的一種新的物態，即無序超均勻態。在小尺度上觀察，這種結構顯得毫無規律，但在大尺度上卻具有晶體相似的均勻性（見圖1C）。

在大自然以及數學世界中，科學家都發現了無序超均勻態的蹤影，例如鳥類視網膜上的視錐細胞分布、質數的分布、隨機矩陣的本征值分部、硬球的密堆積、宇宙大尺度結構等。無序超均勻態也具有很多奇特性質和用途，例如，它能像晶體一樣產生光子帶隙，并且對某些波長的光是完全通透的（超透明性）。不僅如此，這種分布也在數值抽樣和計算機圖形學領域運用廣泛，比如，具有超均勻分布的偽隨機數可以極大加速蒙特卡洛抽樣的速度（隨機打點法計算π值），同時用超均勻的無序點陣進行抽樣繪圖不僅可以克服圖形失真(“反鋸齒”)，還可以用最少的像素點畫出最佳的圖像（見圖2）[1,2]。

圖1：粒子分部的均勻性可由窗口內粒子數N的漲落(方差)

的標度率

來反映(d為維度）。λ=0意味著體系的粒子數漲落正比于粒子數本身，即泊松過程或隨機分布（圖A）；而 λ=1則意味體系有著晶體般的超均勻性（圖B）。0＜λ≤1都屬于超均勻態。（圖片編輯自[1])

超均勻流體

目前無序超均勻態的研究主要集中在無序固體。今年年初，新加坡南洋理工大學的一個理論研究小組首次提出了超均勻流體的概念，并且利用了自驅動膠體體系模擬驗證了這種特殊流體的存在（見鏈接[3]）。但是這種特殊流體的形成機制，以及其與平衡態流體的本質區別仍然是一個未解之謎。與此同時，理論上也缺少描述這種奇異流體的流體力學方程。最近該小組的雷群利博士和倪冉教授對這個問題進行了深入的探索，他們通過構建一種簡單的“彈珠”模型，巧妙地實現了從簡單流體到超均勻流體的平滑過度，不僅如此，他們還發現超均勻流體在理論上具有非常簡潔優美的流體力學方程形式。基于這套理論，超均勻流體的形成機制可以用簡單的諧振子模型來理解。最后，作者還通過模擬展示了如何利用簡單自驅動“陀螺”制造這種超均勻流體。相關工作于近期發表于《美國科學院院刊》上。

圖2：超均勻點陣可用于消除圖的水狀波紋（上）和圖形視覺優化（下）右下角是這種點陣的結構因子S(q)_。（圖片來自 [4]）

“彈珠”模型

作者研究的是一種非平衡態的硬球體系（圖3）。這個模型類似于普通彈珠在有摩擦的平面上運動，即硬球會受到和速度大小成正比的阻尼（摩擦）力，并且兩球碰撞滿足動量守恒。該體系和彈珠碰撞不同的地方是，在碰撞過程中，會有額外的能量輸入給相碰的兩個硬球，使兩個硬球在碰撞后的總動力增加?E，這被稱作“激發碰撞”（activecollision）。在這個體系中激發碰撞提供能量輸入，阻尼力又把能量耗散掉。這種“驅動-耗散”（drivendissipation）機制是活力物質體系的基本特征。體系的最終運動狀態還是取決于兩個特征長度。一個是耗散距離

，即在?E的激發下，靜止硬球可以運動的最遠距離。如果我們固定?E 不變，那么這個距離完全由摩擦系數決定。所以，

其實反映了硬球在阻尼系統中“慣性”的大小。另一個特征長度是“平均自由程”

（mean free path）即硬球在兩次碰撞之間平均的運動距離。這個特征長度反映的是硬球體系疏密程度，越稀的體系，硬球之間越不容易碰撞，平均自由程就越大。

作者分析發現當在初始時刻賦予粒子隨機速度后，如果

，體系的碰撞事件數會隨著時間指數減小，最終體系陷入所謂的“吸收態”（absorbingstate），即每個硬球的速度衰減為零。相反，如果

，體系的激發碰撞會產生“鏈式反應”，使體系保持在一種持續碰撞但“溫度”恒定的狀態，即活力態（active state）。這里的“溫度”恒定指的是體系的平均動能不變。作者發現，這種活力態就是一種超均勻態流體，其結構因子滿足標度率S(q)_~ q²（見圖4A）。這里q 代表的是波矢量，S(q)反映的是體系在波長為2π/q 的尺度上密度漲落的大小。有意思的是，隨著硬球慣性（

）逐漸變大并趨向無窮（對應無摩擦）,體系會升溫，并且S(q)在小波矢區域會慢慢抬升（圖4A），最后轉變為普通平衡態流體的標度率，即S(q)_~ q⁰（const）。硬球的速度分布也從非玻爾茲曼分布，轉變為玻爾茲曼分布（圖4F）。也就是說，通過調節摩擦力或者?E，我們可以使平衡態硬球流體平滑過度到非平衡態超均勻流體。。

圖3：（A）研究模型。（B）二維體系的超均勻流體 (不同顏色代表不同速度方向)。

超均勻流體的流體力學方程和流體動力學

為了研究這種奇特流體的流體力學機理，通過分析推導，作者發現了這種超均勻流體滿足如下的流體力學方程：

這個流體力學方程的形式非常簡潔：其中第一個方程代表粒子數守恒，第二個方程代表動量守恒。由于有阻尼力的存在（綠框），體系動量實際上是不守恒的。激發碰撞反映在紅框的噪聲項里。這套理論的預測和模擬結果高度吻合（圖4的虛線），佐證了這套流體力學的正確性。動力學上，這套理論成功預測了超均勻流體的漲落形式不僅可以是擴散模（diffusive mode）也可以是聲學模（acoustic mode）（圖4G）。體系的動力學相圖在圖4E里給出。另外，作者還測量了超均勻流體的密度漲落的“色噪聲”，發現色噪聲的譜函數在低頻滿足特殊的f^1/2的標度率（圖 4B），這個發現有助于在頻率空間探測和研究這種超均勻流體。

圖4：（A）不同慣性（

）大小的硬球體系的結構因子S(q)，其中q 為波矢量，q²代表超均勻標度率;（B）密度漲落的譜函數 f 隨頻率的變化，其中f ^-1/2為超均勻標度率。；（C，D）平衡態流體和超均勻流體的諧振子模型。(F)超均勻流體中粒子速度分布隨著的

增加慢慢過度到玻爾茲曼分布。（E）體系的動力學相圖。（G）動力學結構因子S(_ω,q),其中三峰曲線的左右兩側峰是Brillouin峰，代表了聲學模，藍線的單峰代表了擴散模。注：虛線為理論預測。

超均勻流體的機理解釋—諧振子模型

我們知道，根據傅里葉分解，任何形狀的方程都可以看作為無數不同波長的正弦波的疊加。同樣地，密度漲落也可以看成是眾多的疏密相間的正弦波漲落（密度模）的疊加，結構因子

或者

就是代表了在波長2π/q的尺度上的正弦波振幅。通過理論推導，作者發現

滿足一個非常熟悉的二階動力學方程：

這個方程與熱浴中諧振子的動力學方程完全一樣，其中

可以看成諧振子的“位移”q^-2可以看成諧振子的“質量”，右邊第一項括號里可以看成諧振子的阻尼系數，右邊第二項是回復力（正比于位移），最后一項是熱浴的噪聲。也就是說，流體在某個波矢量q的密度漲落可以看成是一種抽象的諧振子振動（圖4C,D）。我們知道，諧振子主要有兩種運動模式：一種是在阻尼系數比較小時的“共振態”（圖4C），另一種是在阻尼系數比較大時的“過阻尼態”（圖4D）。共振態下，流體中疏密相間的密度模會表現出一種“彈性”并來回震蕩，形成向前或者向后傳播的“聲波”；在“過阻尼態”下，密度模失去了彈性，產生之后就原地衰減，像冰淇淋融化一樣慢慢鋪平，形成一種“擴散波”。對于平衡態流體，在諧振子的阻尼系數（

）和在熱浴溫度不變的情況下，根據能量均分定理，諧振子的振幅是不變的。也就是說，對于理想平衡態流體，不同波長下的密度漲落幅度是一樣的，即S(q)~const. 這和圖3A所示的結果完全一致的。然而，對于超均勻流體，我們發現隨著波矢q慢慢減小到0，諧振子的阻尼系數會變為無窮大，導致諧振子的振幅為零。也就是說，密度漲落在無限長波長下為零，這正是超均勻態的定義。這個簡單而具有啟發性的模型同時也可以解釋之前所述的超均勻流體的動力學性質。

“陀螺”模型

根據上面的理論分析，作者最后提出了一個實際模型來實現超均勻流體態，即自驅動的“陀螺”（spinner）集群。在外力矩（比如旋轉磁場）的驅動下，陀螺會自發高速旋轉。當兩個陀螺碰撞時，陀螺的旋轉動能會轉變為平移動能，使兩個陀螺相互彈開，從而實現“彈珠”模型中的“激發碰撞”（見圖5A）。在有摩擦的條件下，作者發現這種“陀螺”集群會呈現出與之前“彈珠”模型一樣的超均勻標度（圖5B），并且體系中密度漲落的譜函數的標度率也和“彈珠”模型完全相同。這個實際體系證明了作者理論中所揭示超均勻流體機制的普適性。不僅如此，通過文獻調研，作者也在“微型陀螺”的實驗體系發現了超均勻流體存在的證據。

圖5:（A）二維底板上，由外力矩驅動下高速旋轉的陀螺滿足“碰撞激發”的條件。（B）結構因子S(q)顯示陀螺集群是一種超均勻流體。（C）陀螺集群的密度漲落的譜函數和簡單硬球模型圖4B基本相同。

結 語

總之，作者通過提出了一個簡單的“彈珠”模型研究了超均勻流體的形成機理，發現只要滿足相互的“碰撞激發”和“摩擦耗散”這兩個條件就可以產生超均勻流體態。為了進一步地證明結論的普適性，作者還展示了如何利用自驅動的“陀螺”集群實現超均勻流體，這對實驗具有極強的指導意義。在理論上作者也做出了突出貢獻，不僅首次發現了超均勻流體的流體力學方程，還提出了啟發性的諧振子模型來幫助理解超均勻流體態。從材料學角度上看，這種超均勻流體有望成為一種具有“自修復”和“自適應”的智能活性流體材料，比如活性“光子液體”。這種流體材料不僅具有像光子晶體一樣的光學性質，而且活性“光子液體”即使受到機械損傷，也可以自我修復，同時也可隨著外場驅動的變化改變自己的光學性質，是不是很科幻呢？

論文的發表和致謝

該工作于美國東部時間2019年10月30日發表在《美國科學院院刊》[Proceedings of National Academy of Sciences (USA)]上。南洋理工大學雷群利博士為論文第一作者，倪冉教授為文章通訊作者。作者感謝以色列理工學院Dov Levine和安徽大學胡皓教授的有益討論。該研究得到了新加坡政府教育部、南洋理工大學以及新加坡科技研究局的支持。

文章信息

Qun-Li Lei and Ran Ni; Hydrodynamics of random-organizing Hyperuniform Fluids,Proc. Natl Acad. Sci. (USA), (2019), https://www.pnas.org/content/early/2019/10/29/1911596116

倪冉教授課題組網站：

http://www.ntu.edu.sg/home/r.ni

參考文獻

[1].A Bird’s-Eye View of Nature’s Hidden Order，Quanta Magazine（July 12, 2016）

[2].從鳥眼看見大自然的隱藏秩序——漫步于秩序與隨機之間的超均勻性，《數理人文》雜志2017第12期

[3]. 具有局域巨漲落的超均勻流體 —— 一種新的活性流體態,《知社學術圈》微信公眾號

[4].http://www.cs.huji.ac.il/~raananf/projects/kdm/results.html

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